Weniger als zwei Flaschen mit weniger als $600\; \mathrm{ml}$ Öl enthalten

$X$: Anzahl der Flaschen, die weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthalten.

Jeder Karton enthält zwölf Flaschen$\;\Rightarrow\;n=12.$

Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält, $1{,}5\%$$\;\Rightarrow\;p=0{,}015.$

Berechne: $P(X<2)=P(X\leq 1)=\text{binomCdf}(12{,}0.015{,}0,1)\approx0{,}99$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton weniger als zwei Flaschen mit weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthalten sind, beträgt rund $99\;\%$.

Wie viele Flaschen werden mindestens geliefert?

Die Anzahl der gelieferten Flaschen ist $n$.

Dann gilt: $\mu=n\cdot p$

Im Mittel enthalten mehr als $780$ Flaschen mindestens $600 \mathrm{ml}$ Öl$\;\Rightarrow\;\mu>780$ und $p=1-0{,}015=0{,}985$

($p$ ist hier die Gegenwahrscheinlichkeit zu der Wahrscheinlichkeit $1{,}5\;\%$, dass sie weniger als $600 \mathrm{ml}$ Öl enthält.)

Damit erhältst Du folgende Ungleichung:

Es müssen mindestens $792$ Flaschen geliefert werden.

Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3\;\%$ der Kartons fehlerhaft sind

$Y$: Anzahl der fehlerhaften Kartons

$Y$ ist binomialverteilt mit $n=150$ und $p=P(X>1)$

$p=P(X>1)=\text{binomCdf}(12{,}0.015{,}2,12)\approx0{,}0134$

$3\;\%$ von $150$ Kartons sind $4{,}5\;\Rightarrow\;$mehr als $3\;\%$ sind demnach $5$ Kartons oder mehr, die fehlerhaft sind.

Berechne $P(Y\geq 5)=\text{binomCdf}(150{,}0.0134{,}5,150)\approx0{,}0523$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3\;\%$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt rund $5\;\%$.

$A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{ml}$ Öl.“

$X$: Füllmenge in $\mathrm{ml}$

Normalverteilung mit $\mu=600{,}5\; \mathrm{ml}$ und $\sigma=0{,}23\; \mathrm{ml}$

Gesucht ist:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche mehr als $601\; \mathrm{ml}$ Öl enthält, beträgt rund$1{,}5\;\%$.

$B$ : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“

Es ist $\mu-0{,}5=600$ und $\mu+0{,}5=601$

Berechne: $P(600\leq X\leq601)=\text{normCdf}(600, 601, 600.5, 0.23)\approx0{,}9702884$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge der Flasche um höchstens $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert abweicht, beträgt etwa $97\;\%$.

Skizze des Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt

Vorschlag 1:

Der Erwartungswert der Verteilung muss größer werden, d.h. die Verteilung rutscht nach rechts. Die Form der Verteilung ändert sich nicht, d.h. die Genauigkeit der Abfüllung bleibt unverändert.

Vorschlag 2:

Hier muss der Erwartungswert beibehalten werden. Die Streuung um den Erwartungswert soll aber kleiner sein, d.h. der Graph wird etwas "schlanker". Dafür muss aber das Maximum größer werden, denn die Fläche unter dem Graphen muss weiterhin den Wert $1$ haben.

Begründung für Vorschlag 1, damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird

Wie kann man am Graphen erkennen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Flasche weniger als $600\; \mathrm{ml}$ Öl enthält?

Man findet diese Wahrscheinlichkeit als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall von minus unendlich bis $600$.

Diese Fläche ist beim ursprünglichen Graphen größer als bei dem nach rechts verschobenen Graphen. In der Abbildung 1 ist die Fläche schwarz markiert, um die der ursprüngliche Graph in dem angegebenen Intervall größer ist.

Mit anderen Worten: Vorschlag 1 führt durch die Verschiebung in positive 𝑥-Richtung zu einer Verkleinerung dieser Fläche.

Der Vorschlag eignet sich dafür, dass die Firma ihr Ziel erreicht.

Aufstellen der Ungleichung

Für $\mu = 600{,}5$ und $\sigma = 0{,}23$ gilt:

Aus Symmetriegründen ist $P(X>601)=0{,}015=P(X<600)$

$\Rightarrow\;P(X<600)=0{,}015$ und $0{,}5\cdot P(X<600)=0{,}0075$

Gesucht ist nun ein $\sigma$, sodass $0{,}5\cdot P(X<600)\leq 0{,}0075$

Systematisches Probieren von $\sigma$

$\sigma=0{,}200\;\Rightarrow\;\text{normCdf}(-\infty, 600, 600.5, 0.20)\approx0{,}00621 <0{,}0075$

$\sigma=0{,}205\;\Rightarrow\;\text{normCdf}(-\infty, 600, 600.5, 0.205)\approx0{,}007363 <0{,}0075$

$\sigma=0{,}206\;\Rightarrow\;\text{normCdf}(-\infty, 600, 600.5, 0.206)\approx0{,}007608>0{,}0075$

Also ist die gesuchte Standardabweichung $\sigma=0{,}205$.