Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen als Hilfsmittel verwendet werden.

• die vom Staatsministerium genehmigte Merkhilfe für das Fach Mathematik,

• eine der vom Staatsministerium zugelassenen stochastischen Tabellen,

• eine der vom Staatsministerium für Leistungserhebungen zugelassenen naturwissenschaftlichen Formelsammlungen,

• ein Taschenrechner, der den vom Staatsministerium getroffenen Regelungen

entspricht.

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu

Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten

bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das

Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien

enthält.

Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben

80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als

40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Zuerst überlegt man sich, wie man die beiden Ergebnisse nennen möchte. Eine Möglichkeit dafür ist:
"ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt": $H$
"ein Abonnent ist älter als 40 Jahre": $\ddot{A} Ä$
"ein Abonnent hat das Komplettpaket gewählt": $K$
"ein Abonnent hat nicht das Komplettpaket gewählt": $\overline K$
Als nächstes trägt man die gegebenen Werte an das Baumdiagramm an:
Dann berechnet man die restlichen Wahrscheinlichkeiten:
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Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das
Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bekannt ist, dass die Person sich für ein Komplettpaket entschieden hat ( $K$ ). Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass diese Person höchstens $40$ Jahre alt ist, also $H$ unter der Bedingung $K$ : $P_{K} (H)$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent höchstens $40$ Jahre alt ist und sich für das Komplettpaket entschieden hat ( $K \cap H$ ) durch die Wahrscheinlichkeit dividiert, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent sich für das Komplettpaket entschieden hat:
$\displaystyle P_K (H) = \frac{P(K \cap H)}{P(K)}$
Um $P (K)$ zu berechnen, addiert man einfach $P(H \cap K)$ und $P(Ä \cap K)$ :
$\displaystyle P(H\cap K) + P(Ä \cap K) = 0{,}56 + 0{,}15 = 0{,}71$
Das kann man jetzt in die vorherige Formel einsetzen:
$\displaystyle P_K (H) = \frac{P(K \cap H)}{P(K)} = \frac{0{,}56}{0{,}71} \approx 0{,}7887$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Abonnent, der sich für das Komplettpaket entschieden hat, höchstens $40$ Jahre alt ist, beträgt also ca. $78{,}87 \%$ .
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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein zufällig ausgewählter Abonnent für das Komplettpaket entschieden hat
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig

auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von

mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60 % soll gesteigert
werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich
individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über
den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen
Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der
zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60 %.“ mithilfe einer Stichprobe
von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von
5 % getestet werden.
1. Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser
  Nullhypothese geführt haben könnte. Für den beschriebenen Test ergibt sich
  $\{132;133; ... ;200 \}$ als Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
  Der Fehler 1. Art beschreibt den Fall, dass die Nullhypothese zwar stimmt aber zu Unrecht verworfen wird.
  In diesem Fall würde das also bedeuten, dass der Einsatz des Algorithmus den Anteil der zufriedenen Abonnenten nicht erhöht hat, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, er habe sich erhöht.
  Meistens achtet man darauf, den Fehler 1. Art eine geringere Wahrscheinlichkeit hat, aufzutreten. Hier soll diese Wahrscheinlichkeit zum Beispiel höchstens $5 %$ betragen.
  Das Management will also verhindern, dass der Algorithmus zu Unrecht als positive Änderung wahrgenommen wird.
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  Überlege, was in diesem Fall der Fehler 1. Art ist
  Was ist das Ziel des Managements?
2. Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden
  zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
  Y: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
  ${P}_{0{,}6}^{200}(y\ge132)\approx0{,}047$
  Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der
  unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese
  geeignet.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Da es möglich ist, dass auch für kleinere Werte für $y$ , also zum Beispiel $y \ge 131$ , die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art noch unterhalb des Signifikanzniveaus liegt, muss man dies überprüfen:
  $\displaystyle {P}_{0{,}6}^{200}(y\ge131)\approx0{,}064$
  Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art für einen größeren Ablehnungsbereich liegt nicht mehr unterhalb des Signifikanzniveaus, also liegt die untere Grenze des Ablehnungsbereichs bei $132$ .
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3. Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter
  Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $50 %$
  betragen könnte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
  Der Fehler 2. Art tritt dann auf, wenn die Nullhypothese zu Unrecht angenommen wird.
  In diesem Fall bedeutet das also, dass der Anteil zufriedener Abonnenten gestiegen ist, man geht aber fälschlicherweise davon aus, er sei gleich geblieben.
  Wir wissen nicht, um wie viel Prozent der Anteil der zufriedenen Abonnenten gestiegen ist. Wir wissen nur, dass er gestiegen sein muss, damit die Nullhypothese falsch ist und der Fehler 2. Art auftreten kann.
  Gehen wir nun davon aus, dass der Anteil nur leicht gestiegen ist, zum Beispiel auf $65 %$ . Mithilfe dieser Annahme kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
  $\displaystyle {P}_{0{,}65}^{200}(y\le131)\approx0{,}5852$
  In diesem Fall läge die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art also bei ca. $58{,}52 \%$ , und damit bei mehr als $50 %$ .
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  Überlege, was der Fehler 2. Art in diesem Fall konkret bedeutet
  Überlege, bei welcher Veränderung der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ der Fehler zweiter Art wahrscheinlich ist
  Triff eine logische Annahme für den neuen Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches
Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen
verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie
18 Sonderzeichen.
1. Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen
  lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen
  mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger
  als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus
  genau acht Zeichen bestehen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
  Verwendet ein Benutzer nur Kleinbuchstaben, hat er für jedes der $8$ Zeichen nur $26$ Möglichkeiten. Die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnet man, indem man die $26$ achtmal mit sich selbst malnimmt:
  $26^{8} = 208.827.064.576$
  Verwendet ein Benutzer alle $80$ Zeichen, gibt es deutlich mehr mögliche Passwörter:
  $80^{8} = 1.677.721.600.000.000$
  Dividiert man die Anzahlen der möglichen Passwörter, so zeigt sich, dass nur ein Bruchteil, nämlich nur ca. $0{,}012 \%$ an Möglichkeiten zur Verfügung stehen, wenn man nur Kleinbuchstaben verwendet. Dies entspricht $0,12$ Promille, also weniger als ein Tausendstel.
  $\frac {26^8}{80^8} = \frac {208.827.064.576}{1.677.721.600.000.000} = 0{,}000124470630035400390625 \approx 0{,}00012$
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2. Niclas beschließt, ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden
  Bedingungen erfüllt:
  Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.
  Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.
  Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
  Anzahl der Zeichenkombinationen
  Für das erste Zeichen, das nicht Teil von Niclas' Namen ist, gibt es $74$ Möglichkeiten, da man die $6$ Buchstaben des Namens von den insgesamt $80$ Zeichen abziehen muss. Für das zweite Zeichen, das nicht Teil von Niclas' Namen ist, gibt es nur noch $73$ Möglichkeiten, da man auch das erste Zeichen nicht mehr verwenden darf. So ergeben sich für den Fall, dass beide Zeichen, die nicht Teil des Namens sind, $74 \cdot 73 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 5.402$ Möglichkeiten.
  Anzahl der Anordnungen
  Nun muss man auch beachten, dass man die Plätze der Zeichen noch veränderbar sind.
  Befindet sich das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der ersten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch $7$ mögliche Plätze.
  Befindet das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der zweiten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch $6$ mögliche Plätze.
  Befindet das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der zweiten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch $5$ mögliche Plätze und so weiter.
  Insgesamt ergeben sich somit $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$ mögliche Aneinanderreihungen.
  Anzahl der Passwörter
  Für jede der $28$ verschiedenen Anordnungen gibt es $5.402$ verschiedene Zeichenkombinationen, insgesamt ergeben sich also $28 \cdot 5.402 = 151.256$ verschiedene Passwörter, die die Kriterien erfüllen.
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  Berechne die Anzahl der verschiedenen Kombinationen, die durch die Wahl unterschiedlicher Zeichen entstehen
  Berechne die Anzahl der verschiedenen Anordnungen der Zeichen
  Berechne mit deinen bisherigen Ergebnissen die insgesamte Anzahl der möglichen Passwörter

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P(X\ge1)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
$\displaystyle 1-P (X = 0)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
$\displaystyle 1-\bigg({n \choose 0} \, \cdot 0{,}7^0 \, \cdot \, 0{,}3^{n-0}\bigg)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 1-(1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 0{,}3^n)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}3^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle - \, 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}3^n \, - \, 0{,}99$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \, 0{,}3^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}3^n$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle \ln \, (0{,}3^n)$
	↓	Man kann das $n$ vor den $\ln ()$ ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle n \, \cdot \, \ln \, (0{,}3)$	$\displaystyle / \,\ln \, (0{,}3)$
	↓	Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
$\displaystyle \frac {\ln \, (0{,}01)}{\ln \, (0{,}3)}$	$<$	$\displaystyle n$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle 3{,}825$	$<$	$\displaystyle n$

Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Anzahl der Zeichenkombinationen

Anzahl der Anordnungen

Anzahl der Passwörter

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