Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben

80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als

40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Zuerst überlegt man sich, wie man die beiden Ergebnisse nennen möchte. Eine Möglichkeit dafür ist:
"ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt": $H$
"ein Abonnent ist älter als 40 Jahre": $\ddot{A} Ä$
"ein Abonnent hat das Komplettpaket gewählt": $K$
"ein Abonnent hat nicht das Komplettpaket gewählt": $\overline K$
Als nächstes trägt man die gegebenen Werte an das Baumdiagramm an:
Dann berechnet man die restlichen Wahrscheinlichkeiten:
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Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das
Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bekannt ist, dass die Person sich für ein Komplettpaket entschieden hat ( $K$ ). Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass diese Person höchstens $40$ Jahre alt ist, also $H$ unter der Bedingung $K$ : $P_{K} (H)$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent höchstens $40$ Jahre alt ist und sich für das Komplettpaket entschieden hat ( $K \cap H$ ) durch die Wahrscheinlichkeit dividiert, dass ein zufällig ausgewählter Abonnent sich für das Komplettpaket entschieden hat:
$\displaystyle P_K (H) = \frac{P(K \cap H)}{P(K)}$
Um $P (K)$ zu berechnen, addiert man einfach $P(H \cap K)$ und $P(Ä \cap K)$ :
$\displaystyle P(H\cap K) + P(Ä \cap K) = 0{,}56 + 0{,}15 = 0{,}71$
Das kann man jetzt in die vorherige Formel einsetzen:
$\displaystyle P_K (H) = \frac{P(K \cap H)}{P(K)} = \frac{0{,}56}{0{,}71} \approx 0{,}7887$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Abonnent, der sich für das Komplettpaket entschieden hat, höchstens $40$ Jahre alt ist, beträgt also ca. $78{,}87 \%$ .
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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein zufällig ausgewählter Abonnent für das Komplettpaket entschieden hat
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig

auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von

mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.

$\displaystyle P(X\ge1)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
$\displaystyle 1-P (X = 0)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
$\displaystyle 1-\bigg({n \choose 0} \, \cdot 0{,}7^0 \, \cdot \, 0{,}3^{n-0}\bigg)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 1-(1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 0{,}3^n)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}3^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle - \, 0{,}99$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}3^n \, - \, 0{,}99$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \, 0{,}3^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}3^n$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle \ln \, (0{,}3^n)$
	↓	Man kann das $n$ vor den $\ln ()$ ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten
$\displaystyle \ln \, (0{,}01)$	$>$	$\displaystyle n \, \cdot \, \ln \, (0{,}3)$	$\displaystyle / \,\ln \, (0{,}3)$
	↓	Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
$\displaystyle \frac {\ln \, (0{,}01)}{\ln \, (0{,}3)}$	$<$	$\displaystyle n$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle 3{,}825$	$<$	$\displaystyle n$

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