Begründe anhand des Funktionsterms von $f$, dass $f$ keine Nullstelle hat

Der Zähler von $f$ ist gleich $4$ und damit ungleich $0$, d.h. $f$ hat keine Nullstelle.

Berechne $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ und $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{e^x}}}}=4$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{1+\underset{\to +\infty }{\underbrace{e^x}}}}=0$

Berechne die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $-1\le x\le 1$ auf Hundertstel genau

Wir verwenden die Formel für die mittlere Steigung. Hier ist $a=-1$ und $b=1$, also erhalten wir:

$\overline{m}={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{1+e^1}}-{\displaystyle \frac{4}{1+e^{-1}}}}{1-(-1)}}\approx -\mathrm{0,92}$

Die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $-1\le x\le 1$ beträgt rund $-\mathrm{0,92}$.

Bestimme grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt

Die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt beträgt $m_{WP}=\frac{-2}{2}=-1$.

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f^{\prime }$ an

Wenn $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$ gilt, dann verläuft der Graph von $f^{\prime }(x)$ symmetrisch zur y-Achse.

Skizziere in der Abbildung den Graphen von $f^{\prime }$

Anmerkung zur Zeichnung:

Für $x\le -6$ bzw. $x\ge 6$ ist $f^{\prime }(x)\approx 0$, da $f$ in diesen Bereichen nahezu gar nicht steigt oder fällt.

Für $x=0$ ist $f^{\prime }(0)=-1$ und $f^{\prime }(x)$ ist symmetrisch zur y-Achse.

Zeige, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss $F^{\prime }(x)=f(x)$ sein.

Berechne also die erste Ableitung von $F$:

Die erste Ableitung von $F(x)$ ist gleich ${\displaystyle \frac{4}{e^x+1}}$.

Das ist aber gerade die Funktion $f(x)$. Damit ist gezeigt, dass $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der x-Achse

Es ist $F(x)=4x-4\cdot \ln (e^x+1)=4\cdot (x-\ln (e^x+1))$.

Nachdem $4>0$ ist, müssen wir das Vorzeichen des Terms $x-\ln (e^x+1)$ bestimmen:

Für $x<0$ gilt $\underset{<0}{\underbrace{x}}\underset{<0}{\underbrace{-\ln (e^x+1)}}<0$, denn hier ist $\ln (e^x+1)>\ln (1)=0$ und daher $-\ln (e^x+1)<0$.

Für $x=0$ ist $0-\ln (e^0+1)=-\ln (2)<0$.

Für $x>0$ gilt $\underset{<0}{\underbrace{x-\underset{>x}{\underbrace{\ln (e^x+1)}}}}<0$, denn hier ist $\ln (e^x+1)>\ln (e^x)=x$ und daher $-\ln (e^x+1)<x$.

Also ist für alle $x$ der Term $4\cdot (x-\ln (e^x+1))<0$ und der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der $x$-Achse.

Bestimmung des Werts des Integrals ohne Stammfunktion

Der konkrete Fall $k=2$

Gezeichnet ist in der Abbildung das Integral $${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x=A_1+A_2}$$, wobei

$$A_1={\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$$ und $$A_2={\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x}$$.

Wegen der Punktsymmetrie zum Wendepunkt kann die Fläche $A_2$ auch oberhalb von $A_1$ angeordnet werden, sodass sich für $A_1+A_2=2\cdot 4=8$ ergibt.

Der allgemeine Fall

Oben war $k=2$. Wenn nun $k$ ein anderer Wert wäre, so könnten völlig analog die Flächen unter dem Graphen von $f$von $-k$ bis $0$ und von $0$ bis $k$ übereinander gelegt werden, um ein Rechteck zu erhalten.

Der wichtige Schritt ist nun, zu erkennen, dass die Höhe des entstehenden Rechtecks immer $4$ ist, ganz unabhängig davon, welcher Wert für $k$ gewählt wurde, während die Breite des Rechtecks durch $k$ gegeben ist. Also ist allgemein die berechnete Fläche gleich $k\cdot 4$.

Aus dieser Überlegung folgt bereits der Wert des Integrals: