Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion

$f:x\mapsto\dfrac{4}{1+e^x}$ . Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 ∣ 2)$ .

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $f$ , dass $f$ keine Nullstelle hat, und geben Sie $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)$ sowie $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe anhand des Funktionsterms von $f$ , dass $f$ keine Nullstelle hat
Der Zähler von $f$ ist gleich $4$ und damit ungleich $0$ , d.h. $f$ hat keine Nullstelle.
Berechne $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)$ und $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{4}{1+\underbrace{e^x}_{\to 0}}=4$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{4}{1+\underbrace{e^x}_{\to +\infty}}=0$
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Teil 1
Betrachte den Zähler von $f$ . Kann er gleich null werden?
Teil 2
Beachte bei der Berechnung der Grenzwerte, wie sich die e-Funktion in Nenner verhält.
Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $−1\le x\le1$ auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt.
Berechne die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $−1\le x\le1$ auf Hundertstel genau
Wir verwenden die Formel für die mittlere Steigung. Hier ist $a = - 1$ und $b = 1$ , also erhalten wir:
$\overline{m}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{\dfrac{4}{1+e^1}-\dfrac{4}{1+e^{-1}}}{1-(-1)}\approx-0{,}92$
Die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $−1\le x\le1$ beträgt rund $- 0,92$ .
Bestimme grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt
Die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt beträgt $m_{WP}=\frac{-2}{2}=-1$ .
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Teil 1
Die mittlere Steigung ist die Steigung der Sekante: $\overline{m}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Teil 2
Zeichne ein Steigungsdreieck im Wendepunkt ein.
Für die in $\mathbb{R}$ definierte erste Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ gilt $f^{'} (- x) = f^{'} (x)$ .
Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f^{'}$ an und skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von $f^{'}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f^{'}$ an
Wenn $f^{'} (- x) = f^{'} (x)$ gilt, dann verläuft der Graph von $f^{'} (x)$ symmetrisch zur y-Achse.
Skizziere in der Abbildung den Graphen von $f^{'}$
Anmerkung zur Zeichnung:
Für $x \le -6$ bzw. $x \ge 6$ ist $f'(x)\approx0$ , da $f$ in diesen Bereichen nahezu gar nicht steigt oder fällt.
Für $x = 0$ ist $f^{'} (0) = - 1$ und $f^{'} (x)$ ist symmetrisch zur y-Achse.
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gTeil 1
Es gilt: Wenn $f^{'} (- x) = f^{'} (x)$ , dann ist der Graph von $f^{'} (x)$ achsen-symmetrisch zur y-Achse.
Teil 2
Die größte Steigung hat $f$ im Wendepunkt (in Aufgabe b) berechnet).
Entnimm dem Graphen von $f$ die Steigungen für $x\leq -6$ und für $x\geq 6$ .
Beachte die Symmetrie von $f^{'} (x)$ .

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F:x\mapsto4x-4\cdot \ln(e^x+1)$

Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln-Funktion
Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der x-Achse
Es ist $F(x)=4x-4\cdot \ln(e^x+1)=4\cdot\left(x-\ln(e^x+1)\right)$ .
Nachdem $4 > 0$ ist, müssen wir das Vorzeichen des Terms $x - \ln(e^x + 1)$ bestimmen:
Für $x < 0$ gilt $\underbrace{x}_{<0}\underbrace{-\ln(e^x+1)}_{<0}<0$ , denn hier ist $\ln(e^x+1)>\ln(1)=0$ und daher $-\ln(e^x+1)<0$ .
Für $x = 0$ ist $0-\ln(e^0+1)=-\ln(2)<0$ .
Für $x > 0$ gilt $\underbrace{x-\underbrace{\ln(e^x+1)}_{>x}}_{<0}<0$ , denn hier ist $\ln(e^x+1)>\ln(e^x)=x$ und daher $-\ln(e^x+1)<x$ .
Also ist für alle $x$ der Term $4\cdot\left(x-\ln(e^x+1)\right)<0$ und der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der $x$ -Achse.
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Es ist $F(x)=4\cdot\left(x-\ln(e^x+1)\right)$ .
Betrachte das Vorzeichen des Terms $x-\ln(e^x+1)$ , wenn $x$ verschiedene Werte annimmt.
Begründen Sie, dass der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-k}^{k}f(x) \;\mathrm{d}x$ für jede positive reelle Zahl $k$ ohne Verwendung einer Stammfunktion von $f$ exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.
Bestimmung des Werts des Integrals ohne Stammfunktion
Der konkrete Fall $k = 2$
Gezeichnet ist in der Abbildung das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x) \;\mathrm{d}x= \textcolor{ff6600}{ A_1 }+\textcolor{006400}{ A_2 }$ , wobei
$\textcolor{ff6600}{ A_1 }=\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x) \;\mathrm{d}x$ und $\textcolor{006400}{ A_2 } =\displaystyle\int_{0}^{2}f(x) \;\mathrm{d}x$ .
Wegen der Punktsymmetrie zum Wendepunkt kann die Fläche $\textcolor{006400}{ A_2 }$ auch oberhalb von $\textcolor{ff6600}{ A_1 }$ angeordnet werden, sodass sich für $\textcolor{ff6600}{ A_1 }+\textcolor{006400}{ A_2 } =2\cdot 4=8$ ergibt.
Der allgemeine Fall
Oben war $k = 2$ . Wenn nun $k$ ein anderer Wert wäre, so könnten völlig analog die Flächen unter dem Graphen von $f$ von $- k$ bis $0$ und von $0$ bis $k$ übereinander gelegt werden, um ein Rechteck zu erhalten.
Der wichtige Schritt ist nun, zu erkennen, dass die Höhe des entstehenden Rechtecks immer $4$ ist, ganz unabhängig davon, welcher Wert für $k$ gewählt wurde, während die Breite des Rechtecks durch $k$ gegeben ist. Also ist allgemein die berechnete Fläche gleich $k\cdot4$ .
Aus dieser Überlegung folgt bereits der Wert des Integrals:
$\displaystyle\int_{-k}^{k}f(x) \;\mathrm{d}x=4k.$
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Betrachte eventuell zunächst einen konkreten Fall wie $k = 2$ .
Teile das Integral auf in $\int_{-2}^0 f(x) \;\mathrm{d}x$ und $\int_0^2 f(x)\;\mathrm{d}x$ .
Überlege dir nun, wie Du die zu den Integralen gehörigen Flächen geschickt anordnen kannst, um leicht ihren gemeinsamen Flächeninhalt berechnen zu können.
Funktioniert Deine Methode auch für ein allgemeines $k$ ? Was musst Du ändern oder anpassen?

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle F(x)$	$=$	$\displaystyle 4x-4\cdot \ln(e^x+1)$
	↓	Leite ab, beachte die Kettenregel.
$\displaystyle F'(x)$	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot\dfrac{1}{e^x+1}\cdot e^x$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 4-\dfrac{4\cdot e^x}{e^x+1}$
	↓	Bringe auf gemeinsamen Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\cdot(e^x+1)-4\cdot e^x}{e^x+1}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\cdot e^x+4-4\cdot e^x}{e^x+1}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{e^x+1}$

Begründe anhand des Funktionsterms von fff, dass fff keine Nullstelle hat

Berechne lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)x→−∞lim​f(x) und lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)x→+∞lim​f(x)

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Berechne die mittlere Steigung des Graphen von fff im Bereich −1≤x≤1−1\le x\le1−1≤x≤1 auf Hundertstel genau

Bestimme grafisch die Steigung des Graphen von fff in seinem Wendepunkt

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Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von f′f'f′ an

Skizziere in der Abbildung den Graphen von f′f'f′

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Zeige, dass die Funktion FFF eine Stammfunktion von fff ist

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Der Graph von FFF verläuft vollständig unterhalb der x-Achse

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Bestimmung des Werts des Integrals ohne Stammfunktion

Der konkrete Fall k=2k = 2k=2

Der allgemeine Fall

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Begründe anhand des Funktionsterms von $f$ , dass $f$ keine Nullstelle hat

Berechne $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)$ und $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

Berechne die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $−1\le x\le1$ auf Hundertstel genau

Bestimme grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $f^{'}$ an

Skizziere in der Abbildung den Graphen von $f^{'}$

Zeige, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist

Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der x-Achse

Der konkrete Fall $k = 2$