• Verschiebung um $44$-Einheiten in x-Richtung nach rechts

$f(x)\stackrel{\text{Verschiebung um 4-Einheiten in x-Richtung nach rechts}}{\to }{f}_1(x)=4(x-4{)}^2-3(x-4)+5f(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Verschiebung\; um\; 4-Einheiten\; in\; x-Richtung\; nach\; rechts\}\}f\_1(x)=4(x-4)^2-3(x-4)+5$

Man erhält die Funktion $f_{1}f\_1$.

• Streckung mit dem Faktor $\mathrm{2,5}2\{,\}5$ in y-Richtung

$f_1(x)\stackrel{\text{Streckung mit dem Faktor 2,5 in y-Richtung}}{\to }{f}_2(x)=\mathrm{2,5}\cdot (4(x-4{)}^2-3(x-4)+5)f\_1(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Streckung\; mit\; dem\; Faktor\; 2\{,\}5\; in\; y-Richtung\}\}f\_2(x)=2\{,\}5\backslash cdot\backslash left(4(x-4)^2-3(x-4)+5\backslash right)$

Man erhält die Funktion $f_2(x)=10(x-4{)}^2-\mathrm{7,5}(x-4)+\mathrm{12,5}f\_2(x)=10(x-4)^2-7\{,\}5(x-4)+12\{,\}5$.

• Spiegelung an der y-Achse

$f_2(x)\stackrel{\text{Spiegelung an der y-Achse}}{\to }{f}_3(x)=10(-x-4{)}^2-\mathrm{7,5}(-x-4)+\mathrm{12,5}f\_2(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Spiegelung\; an\; der\; y-Achse\}\}f\_3(x)=10(-x-4)^2-7\{,\}5(-x-4)+12\{,\}5$

Man erhält die Funktion:

$f_3(x)=10(x+4{)}^2+\mathrm{7,5}(x+4)+\mathrm{12,5}=10x^2+\mathrm{87,5}x+\mathrm{202,5}f\_3(x)=10(x+4)^2+7\{,\}5(x+4)+12\{,\}5=10x^2+87\{,\}5x+202\{,\}5$

Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wähle eine andere Reihenfolge für die Durchführung der Transformationen.

Die Reihenfolge ist nun z.B. folgende:

• Spiegelung an der y-Achse

• Streckung mit dem Faktor $\mathrm{2,5}2\{,\}5$ in y-Richtung

• Verschiebung um $44$-Einheiten in x-Richtung nach rechts

Die Funktion $g(x)=f(x)=4x^2-3x+5g(x)=f(x)=4x^2-3x+5$ wird transformiert:

• Spiegelung an der y-Achse

$g(x)\stackrel{\text{Spiegelung an der y-Achse}}{\to }{g}_1(x)=4(-x{)}^2-3(-x)+5g(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Spiegelung\; an\; der\; y-Achse\}\}g\_1(x)=4(-x)^2-3(-x)+5$

Man erhält die Funktion $g_1(x)=4x^2+3x+5g\_1(x)=4x^2+3x+5$.

• Streckung mit dem Faktor $\mathrm{2,5}2\{,\}5$ in y-Richtung

$g_1(x)\stackrel{\text{Streckung mit dem Faktor 2,5 in y-Richtung}}{\to }{g}_2(x)=\mathrm{2,5}\cdot (4x^2+3x+5)g\_1(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Streckung\; mit\; dem\; Faktor\; 2\{,\}5\; in\; y-Richtung\}\}g\_2(x)=2\{,\}5\backslash cdot\backslash left(4x^2+3x+5\backslash right)$

Man erhält die Funktion $g_2(x)=10x^2+\mathrm{7,5}x+\mathrm{12,5}g\_2(x)=10x^2+7\{,\}5x+12\{,\}5$.

• Verschiebung um $44$-Einheiten in x-Richtung nach rechts

$g_2(x)\stackrel{\text{Um 4-Einheiten in x-Richtung nach rechts}}{\to }{g}_3(x)=10(x-4{)}^2+\mathrm{7,5}(x-4)+\mathrm{12,5}g\_2(x)\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Um\; 4-Einheiten\; in\; x-Richtung\; nach\; rechts\}\}g\_3(x)=10(x-4)^2+7\{,\}5(x-4)+12\{,\}5$

Man erhält die Funktion:

$g_3(x)=10(x-4{)}^2+\mathrm{7,5}(x-4)+\mathrm{12,5}=10x^2-\mathrm{72,5}x+\mathrm{142,5}g\_3(x)=10(x-4)^2+7\{,\}5(x-4)+12\{,\}5=10x^2-72\{,\}5x+142\{,\}5$

Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Vergleicht man die beiden Funktionsterme für das Ergebnis aus drei Transformationen aus Aufgabe a) und b), sieht man, dass die Funktionsterme unterschiedlich sind.

$a)\leftrightarrow b)a)\backslash ;\backslash leftrightarrow\backslash ;b)$

$f_3(x)=10x^2+\mathrm{87,5}x+\mathrm{202,5}\leftrightarrow g_3(x)=10x^2-\mathrm{72,5}x+\mathrm{142,5}f\_3(x)=10x^2+87\{,\}5x+202\{,\}5\backslash ;\backslash leftrightarrow\backslash ;g\_3(x)=10x^2-72\{,\}5x+142\{,\}5$

Lässt man sich die Graphen der einzelnen Funktionen anzeigen, dann sieht man, dass die $\text{lilafarbigen}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{lilafarbigen\}\; \}$ Graphen unterschiedlich sind.

Demnach ist die Reihenfolge dieser drei Transformationen nicht vertauschbar.