Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $ℝ$ definierte Funktion $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4 | f_{\frac{1}{2}} (4)) .$

Geben Sie anhand von Abbildung 2 eine Gleichung der Tangente $t$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gleichung der Tangente t
Tangente mit Steigungsdreieck
$t : y = m \cdot x + b$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{16}{4} = 4$ .
Also ist $t : y = 4 \cdot x - 8$ .
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Es ist $t : y = m \cdot x + b$ .
Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in ℝ$ die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u | f_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 | - f_{a} (u))$ schneidet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u | f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - f_{a} (u))$
Es ist $f_{a} (x) = a x^{2} \Rightarrow f_{a}^{'} (x) = 2 a x$ und der Punkt ist $(u | f_{a} (u))$ .
$\Rightarrow f_{a}^{'} (u) = 2 a u = m_{T}$
Weiterhin gilt für die Tangente:
$t : y = m_{T} \cdot x + b = 2 a u \cdot x + b$
Setze die Koordinaten von $(u | f_{a} (u))$ in $t : y = 2 a u \cdot x + b$ ein:
$f_{a} (u) = 2 a u \cdot u + b \Rightarrow b = f_{a} (u) - 2 a u^{2}$
Mit $f_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ .
Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt $(u | f_{a} (u))$ :
$t : y = 2 a u \cdot x - a u^{2}$
Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein. Mit $x = 0$ folgt $y = - a u^{2} = - f_{a} (u)$ .
Also ist:
$S_{y} (0 | - f_{a} (u))$
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Berechne die Gleichung der Tangente für $f_{a} (x)$ im Punkt $(u | f_{a} (u))$ .
Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gleichung der Tangente t

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Tangente an den Graphen von fa im Punkt (u|fa(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0|−fa(u))

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Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u | f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - f_{a} (u))$