Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4|f_{\frac{1}{2}}(4)).$

Geben Sie anhand von Abbildung 2 eine Gleichung der Tangente $t$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gleichung der Tangente t
Tangente mit Steigungsdreieck
$t: y=m\cdot x+b$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{16}{4}=4$ .
Also ist $t: y=4\cdot x-8$ .
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Es ist $t: y=m\cdot x+b$ .
Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u\in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - f_{a} (u))$ schneidet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - f_{a} (u))$
Es ist $f_a(x)=ax^2 \;\Rightarrow\; f_a'(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u ∣ f_{a} (u))$ .
$\displaystyle \Rightarrow\; f_a'(u)=2au=m_T$
Weiterhin gilt für die Tangente:
$\displaystyle t: y=m_T\cdot x+b=2au\cdot x+b$
Setze die Koordinaten von $(u ∣ f_{a} (u))$ in $t: y=2au\cdot x+b$ ein:
$\displaystyle f_a(u)=2au\cdot u+b\;\Rightarrow\;b=f_a(u)-2au^2$
Mit $f_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ .
Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ :
$\displaystyle t: y=2au\cdot x-au^2$
Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein. Mit $x = 0$ folgt $y = - a u^{2} = - f_{a} (u)$ .
Also ist:
$\displaystyle S_y(0|-f_a(u))$
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Berechne die Gleichung der Tangente für $f_{a} (x)$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ .
Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gleichung der Tangente t

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Tangente an den Graphen von faf_afa​ im Punkt (u∣fa(u))(u|f_a(u))(u∣fa​(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0∣−fa(u))(0|-f_a(u))(0∣−fa​(u))

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Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $(u ∣ f_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - f_{a} (u))$