Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte

Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$

mit $f(t)= 1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$ beschrieben werden. Dabei gibt $f$ die Zeit nach dem

Trinken in Stunden an und $f (t)$ die BAK in Gramm pro Kilogramm $\left(\frac{\text{g}}{\text{kg}}\right)$ . Es soll vereinfacht

davon ausgegangen werden, dass die gesamte Menge Wein auf einmal konsumiert wird.

Geben Sie die Nullstellen von $f$ an.
Begründen Sie, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des
Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Nullstellen von $f$ an
$f(t)= 1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$
$\text{Löse}(f(t)=0,t)$ mit den beiden Lösungen $t_{1} = 0$ und $t_2\approx7{,}2$ .
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $7,2$ .
Begründe, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist
Da die BAK nur positive Werte hat, sollte der Definitionsbereich auf das Intervall
zwischen den Nullstellen eingeschränkt werden $\;\Rightarrow\;[0; 7{,}2]$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
$\text{Löse}(f(t)=0,t)$
Teil 2
Beachte, dass die BAK nur positive Werte hat.
Berechnen Sie die maximale BAK der betrachteten Person.
Bei einer BAK von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Berechne die maximale BAK der betrachteten Person
$\text{Löse}(f'(t)=0,t)$ mit der Lösung $t=\ln\left(\dfrac{1081}{150}\right)$ .
Berechne $f\left(\dfrac{1081}{150}\right)$ :
$f\left(\dfrac{1081}{150}\right) \approx 0{,}63$
Die maximale BAK beträgt demnach etwa $0{,}63\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf
Es soll $f(t)\geq 0{,}5$ sein:
$\text{Löse}(f(t)=0.5,t)$ mit den beiden Lösungen $t_1\approx 0{,}88$ und $t_2 \approx 3{,}69$ .
Im Zeitraum von etwa $0,88$ Stunden bis $3,69$ Stunden nach dem Trinken darf die Person kein Auto fahren.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
$\text{Löse}(f'(t)=0,t)\;\Rightarrow\;t_1$
Berechne $f (t_{1})$ .
Teil 2
$\text{Löse}(f(t)=0.5,t)$ $\;\Rightarrow\;$ $t_{1}$ und $t_{2}$ .
Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.
Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter
Alkoholmenge eine andere lineare Funktion.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet.
Für die betrachtete Person wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(t) = 1{,}081 − 0{,}15\cdot t$ verwendet. Dabei beschreibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $h (t)$ Näherungswerte der BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Zeigen Sie, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt.
Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: $4$ Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK $0{,}48\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ und weitere $30$ Minuten später $0{,}39\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Berechnen Sie damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt
Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet. Der y-Achsenabschnitt $\left(h(0)\right)$ der Funktion $h$ ist $1,081$ .
Demnach ist $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person.
Berechne die theoretische maximale BAK der zweiten Person
Die lineare Funktion der zweiten Person ist $g(t)=m\cdot t+b$ .
Gegeben ist $g (4) = 0,48$ und $g (4,5) = 0,39$ :
Dann folgt für die Steigung $m=\dfrac{0{,}39-0{,}48}{4{,}5-4}=-\dfrac{0{,}09}{0{,}5}=-0{,}18$
Setze die Koordinaten des Punktes $(4 ∣ 0,48)$ in $g(t)=-0{,}18\cdot t+b$ ein:
$0{,}48=-0{,}18\cdot 4+b\;\Rightarrow\;b=0{,}48+0{,}72=1{,}2$
Die theoretische maximale BAK der zweiten Person ist $1{,}2\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Lies den y-Achsenabschnitt der Funktion $h$ ab.
Teil 2
Die lineare Funktion der zweiten Person ist $g(t)=m\cdot t+b$ .
Bestimme mit den zwei gegebenen Messungen $m$ und $b$ .
$b$ ist die theoretische maximale BAK der zweiten Person.
Begründen Sie mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten
betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale
BAK. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Begründe mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK
$1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ ist die theoretische maximale BAK für die 1. Person.
Es wird behauptet, dass $1{,}081>1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$ :
Es gilt für $t\geq 0$ :
$\underbrace{\underbrace{1{,}081\cdot(\underbrace{1−\underbrace{e^{−t}}_{>0}}_{<1}}_{<1{,}081})−0{,}15\cdot t}_{<1{,}081}$
Die Behauptung stimmt. $\Rightarrow\; 1{,}081>1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Untersuche den Term $1-e^{-t}$ auf seine Größe und schließe dann auf den gesamten Ausdruck.
Zeigen Sie, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung
$f'(t) = k\cdot (G − (f(t) + m\cdot t)) − m$
mit $k = 1$ , $G = 1,081$ und $m = 0,15$ ist. [4 BE]
Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist
$f(t)=1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t=1{,}081-1{,}081\cdot e^{-t}-0{,}15\cdot t$
Bilde die 1. Ableitung von $f (t)$ :
$f'(t)=1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15$
Setze $k = 1$ , $G = 1,081$ , $m = 0,15$ , $f^{'} (t)$ und $f (t)$ in die DGL ein:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1\cdot (1{,}081 − (1{,}081-1{,}081\cdot e^{-t}-0{,}15\cdot t + 0{,}15\cdot t)) − 0{,}15$
Löse die Klammer auf:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1\cdot (1{,}081 − 1{,}081+1{,}081\cdot e^{-t}+0{,}15\cdot t - 0{,}15\cdot t) − 0{,}15$
Fasse zusammen:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1{,}081\cdot e^{-t} − 0{,}15$
Du hast eine Gleichung erhalten, die für alle $t\in \mathbb{R}$ eine wahre Aussage ist.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Bilde die 1. Ableitung von $f (t)$ .
Setze $k = 1$ , $G = 1,081$ , $m = 0,15$ , $f^{'} (t)$ und $f (t)$ in die Differenzialgleichung ein und vereinfache.
Für verschiedene Personen ergeben sich individuelle zeitliche Verläufe der BAK.
Für $0 < m < 1,081$ werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{m}$ mit
$f_m(t) = 1{,}081 \cdot (1 −e^{−t}) − m \cdot t$ betrachtet.
$t$ beschreibt die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $f_{m} (t)$ die BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Bestimmen Sie alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet
Gesucht ist eine Extremstelle von $f_{m} (t)$ .
Berechne $f_{m}^{'} (t) = 0$ :
Du erhältst die Lösung $t_E=\ln\left(\dfrac{1081}{1000m}\right)$
Weiterhin gilt: $f^{''} (t_{e}) = - m < 0$ , d.h. hier liegt ein lokales Maximum vor.
Gefordert ist nun:
$f_m(t_E)=0{,}5$ .
Man erhält die beiden Lösungen $m_1\approx0{,}22682...$ und $m_2\approx2{,}27659...$ .
Mit $f_m(t_E)<0{,}5$ für $m_{1} < m < m_{2}$ ergeben sich die gesuchten Werte $m$ zu $m_1 < m < 1{,}081$ .
Anmerkung: $0 < m < 1,081$ ist in der Aufgabe vorgegeben.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Gesucht ist eine Extremstelle von $f_{m} (t)$ . Berechne $f_{m}^{'} (t) = 0$ $\;\Rightarrow\;t_1$
Prüfe $f^{''} (t_{1})$ .
Gefordert ist nun $f_m(t_E)=0{,}5$ $\;\Rightarrow\;m_1$ und $m_{2}$
Beachte: $0 < m < 1,081$ ist in der Aufgabe vorgegeben.
Unabhängig vom Sachkontext wird für $a > 0$ die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $p_{a}$ betrachtet mit $p_a(x) = 2 \cdot(1 − e^{−ax}) −\frac15 \cdot x$ .
Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle
$x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.
Begründen Sie, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.
Die möglichen Extremstellen der Schar ergeben sich mit dem Ansatz $p_a{'} (x) = 0$ .
Dies führt zur Lösung:
$x_1=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$
Mit $p_a{''}(x_1)=-\dfrac{a}{5}<0$ , für $a > 0$ ⁣ folgt dann die Aussage.
Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden
Betrachte eine neue Funktion $q(a)=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ .
Die möglichen Extremstellen der Funktion $q$ ergeben sich mit dem Ansatz $q^{'} (a) = 0$ .
Dies führt auf die einzige Lösung: $a=\dfrac{e}{10}$
Weiterhin gilt:
$q{''}\left(\dfrac{e}{10}\right)=-\dfrac{1000}{e^3}<0$
An der Stelle $a=\dfrac{e}{10}$ liegt ein Maximum vor.
Für $a>\dfrac{e}{10}$ werden deshalb die x-Koordinaten der Hochpunkte für wachsende Werte von $a$ kleiner.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Ansatz $p_a{'} (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$
Prüfe $p_a{''}(x_1)$ .
Teil 2
Betrachte eine neue Funktion $q(a)=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ .
Zeige, dass die Funktion $q$ ein Maximum hat.
Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von $p_{0{,}5}$ und $p_{3}$ auf dem Intervall $[0; 1]$ soll
an der Stelle $u$ durch eine Parallele zur y-Achse halbiert werden.
Bestimmen Sie $u$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme $u$
Im Intervall $[0; 1]$ gilt:
Alle Funktionswerte von $p_{3}$ sind für $0<x\leq 1$ größer als die Funktionswerte von $p_{0{,}5}$ .
Das führt zu dem Ansatz:
$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^u(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x$
Man erhält die relevante Lösung $u\approx 0{,}59$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Überlege, welche der beiden Funktionen im Intervall $[0; 1]$ größer ist.
Berechne dann $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^u(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1B

Gib die Nullstellen von fff an

Begründe, dass das Intervall [0;7,2][0; 7{,}2][0;7,2] eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion fff für den Sachzusammenhang ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die maximale BAK der betrachteten Person

Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person 1,081 gkg1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}1,081kgg​ beträgt

Berechne die theoretische maximale BAK der zweiten Person

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe mit Hilfe des Terms von fff, dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass fff eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme alle Werte von mmm so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von 0,5 gkg0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}0,5kgg​ überschreitet

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle x=ln⁡(10⋅a)ax = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}x=aln(10⋅a)​ hat.

Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von aaa kleiner werden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme uuu

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib die Nullstellen von $f$ an

Begründe, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt

Begründe mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK

Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist

Bestimme alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.

Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden

Bestimme $u$