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Aufgabe 1B

Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte

Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf definierte Funktion f

mit f(t)=1,081(1et)0,15t beschrieben werden. Dabei gibt f die Zeit nach dem

Trinken in Stunden an und f(t) die BAK in Gramm pro Kilogramm (gkg). Es soll vereinfacht

davon ausgegangen werden, dass die gesamte Menge Wein auf einmal konsumiert wird.

  1. Geben Sie die Nullstellen von f an.

    Begründen Sie, dass das Intervall [0;7,2] eine angemessene Einschränkung des

    Definitionsbereichs der Funktion f für den Sachzusammenhang ist. [3 BE]

  2. Berechnen Sie die maximale BAK der betrachteten Person.

    Bei einer BAK von 0,5gkg oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.

    Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf. [6 BE]

  3. Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.

    Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter

    Alkoholmenge eine andere lineare Funktion.

    Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet.

    Für die betrachtete Person wird die auf definierte Funktion h mit h(t)=1,0810,15t verwendet. Dabei beschreibt t die Zeit nach dem Trinken in Stunden und h(t) Näherungswerte der BAK in gkg.

    Zeigen Sie, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person 1,081gkg beträgt.

    Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: 4 Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK 0,48gkg und weitere 30 Minuten später 0,39gkg.

    Berechnen Sie damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person. [5 BE]

  4. Begründen Sie mit Hilfe des Terms von f, dass die Werte der BAK der ersten

    betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale

    BAK. [3 BE]

  5. Zeigen Sie, dass f eine Lösung der Differenzialgleichung

    f(t)=k(G(f(t)+mt))m

    mit k=1, G=1,081 und m=0,15 ist. [4 BE]

  6. Für verschiedene Personen ergeben sich individuelle zeitliche Verläufe der BAK.

    Für 0<m<1,081 werden die auf definierten Funktionen fm mit

    fm(t)=1,081(1et)mt betrachtet.

    t beschreibt die Zeit nach dem Trinken in Stunden und fm(t) die BAK in gkg.

    Bestimmen Sie alle Werte von m so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von 0,5gkg überschreitet. [7 BE]

  7. Unabhängig vom Sachkontext wird für a>0 die auf definierte Funktionenschar pabetrachtet mit pa(x)=2(1eax)15x.

    Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle

    x=ln(10a)a hat.

    Begründen Sie, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von a kleiner werden. [7 BE]

  8. Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von p0,5 und p3 auf dem Intervall [0;1] soll

    an der Stelle u durch eine Parallele zur y-Achse halbiert werden.

    Bestimmen Sie u. [5 BE]