Festlegung:

$A$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Pkw ausgestattet.“

$B$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet.“

Gegeben sind $P(A)=\mathrm{0,6}$ und $P(B)=\mathrm{0,08}$. Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein.

Durch Differenzbildung findest Du zwei weitere Werte.

$P(\overline{A})=1-06=\mathrm{0,4}$

$P(\overline{B})=1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$

Weiterhin ist bekannt, dass in $14\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw $(P(\overline{A}))$ mindestens ein Lastenrad vorhanden ist.

$P(B\cap \overline{A})=\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,56}$

Ergänze die Vierfeldertafel mit diesen Werten.

Die restlichen Felder erhältst Du durch Differenzbildung:

$P(B\cap A)=\mathrm{0,08}-\mathrm{0,056}=\mathrm{0,24}$

$P(\overline{B}\cap \overline{A})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,056}=\mathrm{0,344}$

$P(\overline{B}\cap A)=\mathrm{0,92}-\mathrm{0,344}=\mathrm{0,576}$

Beurteile für diese Großstadt die Aussage

Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw...$\Rightarrow P_{\overline{A}}(B)$

Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw...$\Rightarrow P_A(B)$

Die Aussage lautet nun: $P_{\overline{A}}(B)>3\cdot P_A(B)$

$\Rightarrow P_{\overline{A}}(B)={\displaystyle \frac{P(B\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,056}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,14}$

und $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(B\cap A)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,024}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,04}$

Damit folgt dann: $\mathrm{0,14}>3\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,12}$

Die Aussage ist wahr.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind

$X$: Anzahl der Haushalte mit mindestens einem Lastenrad

$X$ ist binomialverteilt mit $n=300$ und $p=\mathrm{0,08}$

Berechne $P(21\le X\le 30)$:

$\text{binomCdf}(\mathrm{300,0.08,21,30})\approx \mathrm{0,680955}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind, beträgt rund $68\%$.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $$1-{\displaystyle \sum _{𝑘=201}^{300}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{300}{𝑘}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^{𝑘}\cdot {\mathrm{0,4}}^{300-𝑘}}$$ berechnet werden kann

Im Term tritt die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,6}$ auf. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein junger Haushalt mit mindestens einem Pkw ausgestattet ist.

Weiterhin entnimmt man dem Term $n=300$ und $k=201$.

Der Summenterm berechnet somit die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 201)$.

Dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit $1-P(X\ge 201)=P(X\le 200)$

$P(X\le 200)$ besagt, dass höchstens 200 dieser Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht

Gesucht ist $P(|V-{\mu }_V|\le 600)$:

Gegeben sind ${\mu }_V=6800\text{km}$ und ${\sigma }_V=530\text{km}$.

Dann ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:

$P(6800-600\le X\le 6800+600)=P(6200\le X\le 7400)$

$P(6200\le X\le 7400)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{7400-6800}{530}}\right)-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6200-6800}{530}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{600}{530}}\right)-\mathrm{\Phi }(-{\displaystyle \frac{600}{530}})=2\cdot \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{600}{530}}\right)-1\approx 2\cdot \mathrm{0,8712}-1=\mathrm{0,7424}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht, beträgt rund $74\%$.

Begründe, dass die Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr ist

Für den Vorderradreifen wird behauptet:

$P(V>c)=\mathrm{0,9}$

Es gilt: $P(X\ge a)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{a-\mu }{\sigma }}\right)$

Dann folgt:

$P(V>c)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{c-{\mu }_V}{{\sigma }_V}}\right)=\mathrm{0,9}$

$\mathrm{0,1}=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{c-6800}{530}}\right)$

$\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,1}$ liefert $z\approx -\mathrm{1,282}$ und damit folgt die Gleichung:

$-\mathrm{1,282}={\displaystyle \frac{c-6800}{530}}$

Dann ist $c=-\mathrm{1,282}\cdot 530+6800\approx 6120$.

Betrachtet man nun einen Hinterradradreifen, dann kann $P(H<6120)$ berechnet werden:

Es gilt ${\mu }_H=4600\text{km}$ und ${\sigma }_H=480\text{km}$.

$P(H<6120)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6120-4600}{480}}\right)\approx \mathrm{\Phi }(\mathrm{3,167})\approx \mathrm{0,9992}$

Ein zufällig ausgewählter Hinterradradreifen hat wegen $P(H<6120)\approx \mathrm{0,9992}$ mit einer sehr großen Wahrscheinlichkeit eine Laufleistung von weniger als $6120\text{⁡}\text{km}$.

Die Aussage ist wahr.

Ermittle die Werte von ${\mu }_Z$ und ${\sigma }_Z$ jeweils in km

Aus dem Graphen entnimmt man $f(\mathrm{5,5})=\mathrm{0,5}$.

Mit $f(x)=P(Z\le 1000\cdot x)$ folgt dann:

$\mathrm{0,5}=P(Z\le 1000\cdot \mathrm{5,5})=P(Z\le 5500)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{5500-{\mu }_z}{{\sigma }_z}}\right)$

Andererseits ist $\mathrm{\Phi }(0)=\mathrm{0,5}\Rightarrow {\displaystyle \frac{5500-{\mu }_z}{{\sigma }_z}}=0$.

${\displaystyle \frac{5500-{\mu }_z}{{\sigma }_z}}=0\Rightarrow {\mu }_z=5500$

Zur Bestimmung von ${\sigma }_z$ wird ein zweiter Punkt des Graphens benötigt.

Es ist $f(6)=\mathrm{0,9}$.

$f(6)=\mathrm{0,9}\Rightarrow P(Z\le 1000\cdot 6)=P(Z\le 6000)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6000-5500}{{\sigma }_z}}\right)=\mathrm{0,9}$

Mit $\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6000-5500}{{\sigma }_z}}\right)=\mathrm{0,9}$ folgt $\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,9}$ und $z\approx \mathrm{1,283}$.

Dann erhält man:

${\displaystyle \frac{6000-5500}{{\sigma }_z}}\approx \mathrm{1,283}\Rightarrow {\sigma }_z={\displaystyle \frac{500}{\mathrm{1,283}}}\approx \mathrm{389,7}$

Damit sind ${\mu }_z=5500\text{km}$ und ${\sigma }_z=390\text{km}$.