Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe Q3

Gegeben sind die Punkte $P (2 | 0 | 23)$ und $Q_{t} (6 | 𝑡 | 20)$ mit $t \in ℝ$ .

Entscheiden Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Gerade $P Q_{t}$ parallel zur xy-Ebene verläuft.
Begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gibt es einen Wert von $t$ , für den die Gerade $P Q_{t}$ parallel zur xy-Ebene verläuft
Es gibt keinen solchen Wert für $t$ , da $P$ und $Q_{t}$ für alle $t$ unterschiedliche z-Koordinaten haben.
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Vergleiche die z-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q_{t}$ .
Der Koordinatenursprung und die Punkte $P$ und $Q_{t}$ bilden ein Dreieck.
Ermitteln Sie diejenigen Werte von $T$ , für die das Dreieck in $Q_{t}$ einen rechten Winkel hat. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Ermittele diejenigen Werte von $t$ , für die das Dreieck in $Q_{t}$ einen rechten Winkel hat
Berechne die Vektoren $\vec{Q_{t} P}$ und $\vec{Q_{t} O}$ :
$\vec{Q_{t} P} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 23 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ t \\ 20 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - t \\ 3 \end{array})$
$\vec{Q_{t} O} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ t \\ 20 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - t \\ - 20 \end{array})$
Für einen rechten Winkel zwischen den Vektoren muss ihr Skalarprodukt gleich null sein: $\vec{Q_{t} P} \circ \vec{Q_{t} O} = 0$
$(\begin{array}{c} - 4 \\ - t \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 6 \\ - t \\ - 20 \end{array})$ $=$ $0$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$(- 4) \cdot (- 6) + (- t) \cdot (- t) + 3 \cdot (- 20)$ $=$ $0$
↓
Vereinfache.
$24 + t^{2} - 60$ $=$ $0$ $+ 60 - 24$
$t^{2}$ $=$ $36$ $\sqrt{}$
$t_{1,2}$ $=$ $\pm 6$
Für $t = - 6$ oder $t = + 6$ hat das Dreieck einen rechten Winkel.
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Berechne die Vektoren $\vec{Q_{t} P}$ und $\vec{Q_{t} O}$ und berechne dann ihr Skalarprodukt.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$(\begin{array}{c} - 4 \\ - t \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 6 \\ - t \\ - 20 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(- 4) \cdot (- 6) + (- t) \cdot (- t) + 3 \cdot (- 20)$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$24 + t^{2} - 60$	$=$	$0$	$+ 60 - 24$
$t^{2}$	$=$	$36$	$\sqrt{}$
$t_{1,2}$	$=$	$\pm 6$

Aufgabe Q3

Gibt es einen Wert von t, für den die Gerade PQt parallel zur xy-Ebene verläuft

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Ermittele diejenigen Werte von t, für die das Dreieck in Qt einen rechten Winkel hat

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Gibt es einen Wert von $t$ , für den die Gerade $P Q_{t}$ parallel zur xy-Ebene verläuft

Ermittele diejenigen Werte von $t$ , für die das Dreieck in $Q_{t}$ einen rechten Winkel hat