Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinatenachsen an

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der x-Achse

Gegeben ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $g(x)=0$.

$\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow -3x-2=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Somit lautet der Schnittpunkt von $G_g$ mit der x-Achse $N(-\frac{2}{3}|0)$.

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in $g(x)$ ein $\Rightarrow g(0)=-2\Rightarrow S_y(0|-2)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-2)$.

Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind.

Erstelle eine Monotonietabelle.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$g^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (-3x-2)+e^{-3x}\cdot (-3)=e^{-3x}\cdot (9x+6-3)$

$g^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (9x+3)$

$g^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (9x+3)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$9x+3=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Berechne $g^{\prime }(x)$ für $x<-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ und für $x>-{\displaystyle \frac{1}{3}}$:

$g^{\prime }(-1)=e^3\cdot (9\cdot (-1)+3)=-6\cdot e^3<0$

$g^{\prime }(1)=e^{-3}\cdot (9\cdot 1+3)=12\cdot e^{-3}>0$

Der Graph von $g$ ist sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend$\Rightarrow$ Funktion ist nicht umkehrbar.

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x}$$

Es ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$.

Mache für $G(x)$ den Ansatz $G(x)=e^{-3x}\cdot (ax+b)$.

Es muss $G^{\prime }(x)=g(x)$ sein:

Berechne $G^{\prime }(x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$G^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (ax+b)+e^{-3x}\cdot a=e^{-3x}\cdot (-3ax-3b+a)$

Der Koeffizientenvergleich liefert:

$-3a=-3\Rightarrow a=1$ und $-3b+a=-2\Rightarrow -3b+1=-2\Rightarrow b=1$

Damit ist $G(x)=e^{-3x}\cdot (x+1)+C$ eine integralfreie Darstellung von $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x.}$$