Teil 1, Analysis - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 2)$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ .$

Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinatenachsen an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinatenachsen an
Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der x-Achse
Gegeben ist $g (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 2)$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $g (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 2)$
Weil $e^{- 3 x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow - 3 x - 2 = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}$
Somit lautet der Schnittpunkt von $G_{g}$ mit der x-Achse $N (- \frac{2}{3} | 0)$ .
Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der y-Achse
Setze $x = 0$ in $g (x)$ ein $\Rightarrow g (0) = - 2 \Rightarrow S_{y} (0 | - 2)$ .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_{y} (0 | - 2)$ .
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Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der x-Achse $\Rightarrow$ löse die Gleichung $g (x) = 0$ .
Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der y-Achse $\Rightarrow$ setze $x = 0$ in $g (x)$ ein.
Widerlegen Sie die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“
Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind.
Erstelle eine Monotonietabelle.
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$g^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 3) = e^{- 3 x} \cdot (9 x + 6 - 3)$
$g^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (9 x + 3)$
$g^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = e^{- 3 x} \cdot (9 x + 3)$
Weil $e^{- 3 x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$9 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$
Berechne $g^{'} (x)$ für $x < - \frac{1}{3}$ und für $x > - \frac{1}{3}$ :
$g^{'} (- 1) = e^{3} \cdot (9 \cdot (- 1) + 3) = - 6 \cdot e^{3} < 0$
$g^{'} (1) = e^{- 3} \cdot (9 \cdot 1 + 3) = 12 \cdot e^{- 3} > 0$
x
$x < - \frac{1}{3}$
$x = - \frac{1}{3}$
$x > - \frac{1}{3}$
$g^{'} (x)$
$< 0$
$0$
$> 0$
$G_{g}$
$↘$
$T P$
$↗$
Der Graph von $g$ ist sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend $\Rightarrow$ Funktion ist nicht umkehrbar.
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Erstelle eine Monotonietabelle.
Der Graph von $g$ ist sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend. Was folgt daraus?
Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von $\int g (x) d x .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Ermittle eine integralfreie Darstellung von $\int g (x) d x$
Es ist $g (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 2)$ .
Mache für $G (x)$ den Ansatz $G (x) = e^{- 3 x} \cdot (a x + b)$ .
Es muss $G^{'} (x) = g (x)$ sein:
Berechne $G^{'} (x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
$G^{'} (x) = e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (a x + b) + e^{- 3 x} \cdot a = e^{- 3 x} \cdot (- 3 a x - 3 b + a)$
Der Koeffizientenvergleich liefert:
$- 3 a = - 3 \Rightarrow a = 1$ und $- 3 b + a = - 2 \Rightarrow - 3 b + 1 = - 2 \Rightarrow b = 1$
Damit ist $G (x) = e^{- 3 x} \cdot (x + 1) + C$ eine integralfreie Darstellung von $\int g (x) d x .$
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Mache für $G (x)$ den Ansatz $G (x) = e^{- 3 x} \cdot (a x + b)$ .
Es muss $G^{'} (x) = g (x)$ sein.
Führe einen Koeffizientenvergleich durch.

x	$x < - \frac{1}{3}$	$x = - \frac{1}{3}$	$x > - \frac{1}{3}$
$g^{'} (x)$	$< 0$	$0$	$> 0$
$G_{g}$	$↘$	$T P$	$↗$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen an

Schnittpunkte des Graphen von g mit der x-Achse

Schnittpunkte des Graphen von g mit der y-Achse

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Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion g ist umkehrbar.“

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Ermittle eine integralfreie Darstellung von ∫g(x)dx

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Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinatenachsen an

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der x-Achse

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der y-Achse

Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $\int g (x) d x$