Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $gg$ mit den Koordinatenachsen an

Schnittpunkte des Graphen von $gg$ mit der x-Achse

Gegeben ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)g(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot(-3x-2)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $g(x)=0g(x)=0$.

$\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (-3x-2)\backslash Rightarrow\backslash ;0=e^\{-3x\}\backslash cdot(-3x-2)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-3x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow -3x-2=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash Rightarrow\backslash ;-3x-2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-\backslash dfrac\{2\}\{3\}$

Somit lautet der Schnittpunkt von $G_{g}G\_g$ mit der x-Achse $N(-\frac{2}{3}\mid 0)N(-\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash mid\; 0)$.

Schnittpunkte des Graphen von $gg$ mit der y-Achse

Setze $x=0x=0$ in $g(x)g(x)$ ein $\Rightarrow g(0)=-2\Rightarrow S_y(0\mid -2)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g(0)=-2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;S\_y(0\backslash mid\; -2)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid -2)S\_y(0\backslash mid\; -2)$.

Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion $gg$ ist umkehrbar.“

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind.

Erstelle eine Monotonietabelle.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (-3x-2)+e^{-3x}\cdot (-3)=e^{-3x}\cdot (9x+6-3)g\text{'}(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot\; (-3)\backslash cdot\; (-3x-2)+e^\{-3x\}\backslash cdot\; (-3)=e^\{-3x\}\backslash cdot(9x+6-3)$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-3x}\cdot (9x+3)g\text{'}(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot(9x+3)$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (9x+3)g\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =e^\{-3x\}\backslash cdot(9x+3)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-3x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$9x+3=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}9x+3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-\backslash dfrac\{1\}\{3\}$

Berechne $g^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)$ für und für $x>-{\displaystyle \frac{1}{3}}x>\; -\backslash dfrac\{1\}\{3\}$:

$g^{\mathrm{\prime }}(1)=e^{-3}\cdot (9\cdot 1+3)=12\cdot e^{-3}>0g\text{'}(1)=e^\{-3\}\backslash cdot(9\backslash cdot\; 1+3)=12\backslash cdot\; e^\{-3\}>0$

Der Graph von $gg$ ist sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ Funktion ist nicht umkehrbar.

Ermittle eine integralfreie Darstellung von ${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\; g(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Es ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)g(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot(-3x-2)$.

Mache für $G(x)G(x)$ den Ansatz $G(x)=e^{-3x}\cdot (ax+b)G(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot(ax+b)$.

Es muss $G^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)G\text{'}(x)=g(x)$ sein:

Berechne $G^{\mathrm{\prime }}(x)G\text{'}(x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (ax+b)+e^{-3x}\cdot a=e^{-3x}\cdot (-3ax-3b+a)G\text{'}(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot\; (-3)\backslash cdot(ax+b)+e^\{-3x\}\backslash cdot\; a=e^\{-3x\}\backslash cdot(-3ax-3b+a)$

Der Koeffizientenvergleich liefert:

$-3a=-3\Rightarrow a=1-3a=-3\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=1$ und $-3b+a=-2\Rightarrow -3b+1=-2\Rightarrow b=1-3b+a=-2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-3b+1=-2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=1$

Damit ist $G(x)=e^{-3x}\cdot (x+1)+CG(x)=e^\{-3x\}\backslash cdot(x+1)+\; C$ eine integralfreie Darstellung von ${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x\mathrm{.}}\backslash displaystyle\backslash int\; g(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x.$