Gegeben sind die Funktionen f:x↦e2x+1e2x+ex und F:x↦∫f(t)dt jeweils in ihren Definitionsmengen Df=R und DF=R. Es sei bekannt, dass der Graph von F genau einen Wendepunkt besitzt.
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von F.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie
Bestimme das Monotonieverhalten des Graphen von F
Es ist f(x)=e2x+1e2x+ex.
Der Nenner ist für alle x∈R größer null.
Der Zähler ist die Summe zweier e-Funktionen und damit auch für alle x∈R größer null ⇒f(x)>0 für alle x∈R.
Nun gilt:
F′(x)=f(x)⇒F′(x)>0 für alle x∈R.
Demnach ist F(x)streng monotonsteigend für alle x∈R.
Da F′(x)=f(x) ist, kann auf das Monotonieverhalten von F(x) geschlossen werden.
Im Schaubild, siehe unten, ist ein Teil des Graphen von f abgebildet. Geben Sie nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die x- und die y-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von F näherungsweise an und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
Gib nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die x- und die y-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von F näherungsweise an und begründe jeweils Deine Antwort
Die Wendepunkte einer Integralfunktion F liegen dort, wo sich die Krümmung der zu integrierenden Funktion f ändert, also dort, wo die zweite Ableitung der Integralfunktion F null wird und ihr Vorzeichen wechselt.
F′(x)=f(x)⇒F′′(x)=f′(x)
F′′(x)=0⇒f′(x)=0 liefert die Extremstellen von Gf.
Der Abbildung kann man die Koordinaten des Hochpunktes entnehmen.
Sie sind ungefähr HP(0,9∣1,2).
Der Wendepunkt von GF hat dann ebenfalls diese Koordinaten WP(0,9∣1,2).
Zerlege das Integral in die Summe von 2 Integralen.
1. Integral: Es ist z=et. Dann ist dz=et⋅dt. Die Stammfunktion dieses Integrals ist die ln-Funktion. Beachte die Resubstitution.
2. Integral: Hier gilt nach Substitution mit z=et und dz=et⋅dt, dass die Stammfunktion dieses Integrals die arctan-Funktion ist. Beachte die Resubstitution.
Addiere die beiden gefundenen Lösungen.
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