Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$

$X$ ist die Anzahl der Fehler.

Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.

$P(DFE)=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,648}\Rightarrow$$0$ Fehler

$P(DF\overline{E})=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,162}\Rightarrow$$1$ Fehler

$P(D\overline{F}E)=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,072}\Rightarrow$$1$ Fehler

$P(D\overline{F}\overline{E})=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,018}\Rightarrow$$2$ Fehler

$P(\overline{D}FE)=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,072}\Rightarrow$$1$ Fehler

$P(\overline{D}F\overline{E})=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,018}\Rightarrow$$2$ Fehler

$P(\overline{D}\overline{F}E)=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,008}\Rightarrow$$2$ Fehler

$P(\overline{D}\overline{F}\overline{E})=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,002}\Rightarrow$$3$ Fehler

Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten:

$P(0\text{Fehler})=\mathrm{0,648}$

$P(1\text{Fehler})=\mathrm{0,162}+\mathrm{0,072}+\mathrm{0,072}=\mathrm{0,306}$

$P(2\text{Fehler})=\mathrm{0,018}+\mathrm{0,018}+\mathrm{0,008}=\mathrm{0,044}$

$P(3\text{Fehler})=\mathrm{0,002}$

Damit erhält man die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.

Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen

$\mu =E(X)=0\cdot \mathrm{0,648}+1\cdot \mathrm{0,306}+2\cdot \mathrm{0,044}+3\cdot \mathrm{0,002}=\mathrm{0,4}$

Die Varianz ist dann:

$V(X)=E(X^2)-{\mu }^2=0^2\cdot \mathrm{0,648}+1^2\cdot \mathrm{0,306}+2^2\cdot \mathrm{0,044}+3^2\cdot \mathrm{0,002}-{\mathrm{0,4}}^2=\mathrm{0,34}$

Für die Standardabweichung $\sigma =\sqrt{V(X)}$ folgt dann:

$\sigma =\sqrt{\mathrm{0,34}}\approx \mathrm{0,5831}$

Gefragt ist nach $|X-\mu |\le \sigma$.

$\Rightarrow \mu -\sigma =\mathrm{0,4}-\mathrm{0,5831}=-\mathrm{0,1831}$ und $\mu +\sigma =\mathrm{0,4}+\mathrm{0,5831}=\mathrm{0,9831}$

$\Rightarrow -\mathrm{0,1831}\le X\le \mathrm{0,9831}$

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), stellt man fest, dass nur der Zufallswert $X=0$ in der Ungleichung liegt (weil die $X$-Werte 2, 3 und 4 größer als $\mathrm{0,9831}$ sind).

Somit ist $P(|X-\mu |\le \sigma )=P(X=0)=\mathrm{0,648}$.