S I - lernen mit Serlo!

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in Aufgabe 1 genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
$X$ ist die Anzahl der Fehler.
Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
$P(DFE)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}648\;\Rightarrow\;$ $0$ Fehler
$P(DF\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}162\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
$P(D\overline F E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}072\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
$P(D\overline F\;\overline E)=0{,}9\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}018\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
$P(\overline DF E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}072\;\Rightarrow\;$ $1$ Fehler
$P(\overline DF\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}9\cdot 0{,}2=0{,}018\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
$P(\overline D\;\overline F E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}008\;\Rightarrow\;$ $2$ Fehler
$P(\overline D\;\overline F\;\overline E)=0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}002\;\Rightarrow\;$ $3$ Fehler
Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten:
$P(0\; \text{Fehler})=0{,}648$
$P(1\; \text{Fehler})=0{,}162+0{,}072+0{,}072=0{,}306$
$P(2\; \text{Fehler})=0{,}018+0{,}018+0{,}008=0{,}044$
$P(3\; \text{Fehler})=0{,}002$
Damit erhält man die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
$x_{i}$
$0$
$1$
$2$
$3$
$P (X = x_{i})$
$0,648$
$0,306$
$0,044$
$0,002$
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$X$ ist die Anzahl der Fehler.
Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
Fasse die Wahrscheinlichkeiten zusammen.
Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen
$\mu=E(X)=0\cdot 0{,}648+1\cdot 0{,}306+2\cdot 0{,}044+3\cdot 0{,}002=0{,}4$
Die Varianz ist dann:
$V(X)=E(X^2)-\mu^2=0^2\cdot 0{,}648+1^2\cdot 0{,}306+2^2\cdot 0{,}044+3^2\cdot 0{,}002-0{,}4^2=0{,}34$
Für die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{V(X)}$ folgt dann:
$\sigma=\sqrt{0{,}34}\approx0{,}5831$
Gefragt ist nach $|X-\mu|\leq \sigma$ .
$\Rightarrow\;\mu-\sigma=0{,}4-0{,}5831=-0{,}1831$ und $\mu+\sigma=0{,}4+0{,}5831 =0{,}9831$
$\Rightarrow\;-0{,}1831\leq X\leq 0{,}9831$
Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), stellt man fest, dass nur der Zufallswert $X = 0$ in der Ungleichung liegt (weil die $X$ -Werte 2, 3 und 4 größer als $0,9831$ sind).
Somit ist $P(|X-\mu|\leq \sigma)=P(X=0)=0{,}648$ .
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Berechne $μ \mu$ und $V(X)=E(X^2)-\mu^2$ und $\sigma=\sqrt{V(X)}$ .
Gesucht ist $|X-\mu|\leq \sigma$ .
Berechne $\mu-\sigma$ und $\mu+\sigma$ . Man erhält das Intervall $\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma$ .
Betrachte die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), so stellst du fest, dass nur ein bestimmter Zufallswert $X = X_{1}$ in der Ungleichung liegt.
Dann gilt: $P(|X-\mu|\leq \sigma)=P(X=X_1)=p_1$ ( $p_{1}$ entnommen aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung).

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$0,648$	$0,306$	$0,044$	$0,002$

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Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XXX

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Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen

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Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$