Ergänze die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten

In einer Urne befinden sich $25$ Kugeln gleicher Art. Fünf Kugeln sind mit dem Buchstaben $B$, alle anderen mit dem Buchstaben $A$ beschriftet.

Es gibt also $20$ Kugeln, die mit A beschriftet sind.

Wird eine $A$ Kugel gezogen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit beim 1. Zug $P(A)={\displaystyle \frac{20}{25}}$ und für eine $B$ Kugel beim 1. Zug $P(B)={\displaystyle \frac{5}{25}}$.

Beim 2. Zug einer $A$ Kugel sind nur noch $24$ Kugeln in der Urne, von denen $19$ $A$ Kugeln sind, sodass gilt: $P(A)={\displaystyle \frac{19}{24}}$ und $P(B)=1-{\displaystyle \frac{19}{24}}={\displaystyle \frac{5}{24}}$

Beim 3. Zug einer $A$ Kugel sind nur noch $23$ Kugeln in der Urne, von denen $18$ $A$ Kugeln sind, sodass gilt: $P(A)={\displaystyle \frac{18}{23}}$ und $P(B)=1-{\displaystyle \frac{18}{23}}={\displaystyle \frac{5}{23}}$

Siehe Abbildung:

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder beim ersten oder zweiten Ziehen eine Kugel mit dem Buchstaben $B$ gezogen wird

Betrachte das ausgefüllte Baumdiagramm.

Dann gilt für eine $B$ Kugel beim 1. Zug $P(B)={\displaystyle \frac{5}{25}}$.

Beim 2. Ziehen einer $B$ Kugel gilt dann $P(AB)={\displaystyle \frac{20}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}$.

Beim ersten oder zweiten Ziehen einer $B$ Kugel erhält man dann für die Wahrscheinlichkeit:

$P=P(B)+P(AB)={\displaystyle \frac{5}{25}}+{\displaystyle \frac{20}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{11}{30}}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder beim ersten oder zweiten Ziehen eine Kugel mit dem Buchstaben $B$ gezogen wird, beträgt ${\displaystyle \frac{11}{30}}$.

Beim wievielten Ziehen erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von $100\%$ eine Kugel mit dem Buchstaben $B$? Begründe.

Erst wenn alle $A$ Kugeln gezogen wurden, erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von $100\%$ eine Kugel mit dem Buchstaben $B$.

Da es $20$ $A$ Kugeln gibt, erhält man erst beim $21.$ Zug mit Sicherheit ($100\%$) eine $B$ Kugel.