Ergänze die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten

In einer Urne befinden sich $2525$ Kugeln gleicher Art. Fünf Kugeln sind mit dem Buchstaben $BB$, alle anderen mit dem Buchstaben $AA$ beschriftet.

Es gibt also $2020$ Kugeln, die mit A beschriftet sind.

Wird eine $AA$ Kugel gezogen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit beim 1. Zug $P(A)={\displaystyle \frac{20}{25}}P(A)=\backslash dfrac\{20\}\{25\}$ und für eine $BB$ Kugel beim 1. Zug $P(B)={\displaystyle \frac{5}{25}}P(B)=\backslash dfrac\{5\}\{25\}$.

Beim 2. Zug einer $AA$ Kugel sind nur noch $2424$ Kugeln in der Urne, von denen $1919$ $AA$ Kugeln sind, sodass gilt: $P(A)={\displaystyle \frac{19}{24}}P(A)=\backslash dfrac\{19\}\{24\}$ und $P(B)=1-{\displaystyle \frac{19}{24}}={\displaystyle \frac{5}{24}}P(B)=1-\backslash dfrac\{19\}\{24\}\; =\backslash dfrac\{5\}\{24\}$

Beim 3. Zug einer $AA$ Kugel sind nur noch $2323$ Kugeln in der Urne, von denen $1818$ $AA$ Kugeln sind, sodass gilt: $P(A)={\displaystyle \frac{18}{23}}P(A)=\backslash dfrac\{18\}\{23\}$ und $P(B)=1-{\displaystyle \frac{18}{23}}={\displaystyle \frac{5}{23}}P(B)=1-\backslash dfrac\{18\}\{23\}\; =\backslash dfrac\{5\}\{23\}$

Siehe Abbildung:

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder beim ersten oder zweiten Ziehen eine Kugel mit dem Buchstaben $BB$ gezogen wird

Betrachte das ausgefüllte Baumdiagramm.

Dann gilt für eine $BB$ Kugel beim 1. Zug $P(B)={\displaystyle \frac{5}{25}}P(B)=\backslash dfrac\{5\}\{25\}$.

Beim 2. Ziehen einer $BB$ Kugel gilt dann $P(AB)={\displaystyle \frac{20}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}P(AB)=\backslash dfrac\{20\}\{25\}\backslash cdot\backslash dfrac\{5\}\{24\}$.

Beim ersten oder zweiten Ziehen einer $BB$ Kugel erhält man dann für die Wahrscheinlichkeit:

$P=P(B)+P(AB)={\displaystyle \frac{5}{25}}+{\displaystyle \frac{20}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{11}{30}}P=P(B)+P(AB)=\backslash dfrac\{5\}\{25\}+\backslash dfrac\{20\}\{25\}\backslash cdot\backslash dfrac\{5\}\{24\}=\backslash dfrac\{1\}\{5\}+\backslash dfrac\{1\}\{6\}=\backslash dfrac\{11\}\{30\}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder beim ersten oder zweiten Ziehen eine Kugel mit dem Buchstaben $BB$ gezogen wird, beträgt ${\displaystyle \frac{11}{30}}\backslash dfrac\{11\}\{30\}$.

Beim wievielten Ziehen erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von $100\mathrm{\%}100\backslash ;\backslash \%$ eine Kugel mit dem Buchstaben $BB$? Begründe.

Erst wenn alle $AA$ Kugeln gezogen wurden, erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von $100\mathrm{\%}100\backslash ;\backslash \%$ eine Kugel mit dem Buchstaben $BB$.

Da es $2020$ $AA$ Kugeln gibt, erhält man erst beim $21.21.$ Zug mit Sicherheit ($100\mathrm{\%}100\backslash ;\backslash \%$) eine $BB$ Kugel.