Heft 2 - B2

Um das Volumen des Quaders zu berechnen, multipliziert man die Breite mit der Höhe und der Tiefe:

$4\cdot 6\cdot 6=24\cdot 6=1444\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 6\; =\; 24\; \backslash cdot\; 6\; =\; 144$

Der Quader hat also ein Volumen von $144{\text{ cm}}^{3}144\; \backslash cm^3$

Volumen des Kegels

Zunächst muss man das Volumen des Kegels berechnen. Dafür multipliziert man die Grundfläche mit einem Drittel der Höhe.

Für die Berechnung der Grundfläche muss man wissen, dass der Durchmesser des Kegels $6\text{ cm}6\; \backslash cm$, und damit der Radius $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ lang ist.

Dass der Kegel $4\text{ cm}4\; \backslash cm$ hoch ist, weiß man, weil der Quader auch nur $4\text{ cm}4\; \backslash cm$ hoch ist.

Der Kegel hat also ein Volumen von ca. $\mathrm{37,7}{\text{ cm}}^{3}37\{,\}7\; \backslash cm^3$.

Verhältnis des Kegelvolumens zum Quadervolumen

Um das Verhältnis der beiden Volumen zu berechnen, dividiert man das Volumen des Kegels durch das des Quaders:

${\displaystyle \frac{\mathrm{37,7}}{144}}\approx \mathrm{0,2618}\backslash dfrac\{37\{,\}7\}\{144\}\; \backslash approx\; 0\{,\}2618$

Das Volumen des Kegels beträgt also ca. $\mathrm{26,18}\mathrm{\%}26\{,\}18\; \backslash \%$ des Volumen des Quaders. Mark hat also nicht Recht.

Berechnen der Oberfläche des Stiels (Zylinder).

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=2{\mathrm{r}}^2\pi +2\mathrm{r}\pi \mathrm{h}\backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}=2r^2\backslash pi+2r\pi h\}$

Einsetzen der Werte, aus der Aufgabenstellung, in die Formel.

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=2\cdot {\mathrm{0,25}}^2\pi +2\cdot \mathrm{0,25}\cdot 4\cdot \pi \backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}=2\backslash cdot0\{,\}25^2\backslash pi+2\backslash cdot\; 0\{,\}25\backslash cdot\; 4\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=2\pi (\mathrm{0,0625}+\mathrm{0,25}\cdot 4)\backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}=2\backslash pi(\; 0\{,\}0625+0\{,\}25\backslash cdot\; 4)\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=2\pi (\mathrm{0,0625}+1)\backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}=2\backslash pi(0\{,\}0625+1)\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\pi \cdot \mathrm{2,125}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]\backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}=\backslash pi\backslash cdot2\{,\}125\backslash \; \backslash \; [cm^2]\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}\approx \mathrm{6,68}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{O\_\{Zylinder\}\backslash approx6\{,\}68\backslash cm^2\}$

Der Flächeninhalt der grün lackierten Fläche beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{6,68}{\text{ cm}}^2}}\backslash \; \backslash boxed\{6\{,\}68\backslash cm^2\}$

Berechnen der Seite $\text{s}\backslash text\{s\}$.

Längsschnitt des Kreisels.

Der Längsschnitt des Kreisels zeigt ein gleichschenkliges Dreieck.

Das Dreieck $\text{ABC}\backslash text\{ABC\}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, folgende Größen sind bekannt:

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\mathrm{r}=3\text{ cm};\mathrm{h}=4\text{ cm}\backslash mathrm\{\backslash overline\{AC\}=r=3\backslash cm;\backslash \; h=4\backslash cm\}$

Der Satz des Pythagoras angewendet auf dieses Dreieck lautet:

${\mathrm{s}}^2={\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2+{\mathrm{h}}^2\backslash mathrm\{s^2=\backslash overline\{AC\}^2+h^2\}$

einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{s}}^2=3^2+4^2\Rightarrow \mathrm{s}=\sqrt{9+16}\backslash mathrm\{s^2=3^2+4^2\; \backslash Rightarrow\backslash \; s=\backslash sqrt\{9+16\}\}$

$\mathrm{s}=\sqrt{25}\Rightarrow \mathrm{s}=5\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{s=\backslash sqrt\{25\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; s=5\backslash \; cm\}$

Die Länge der Mantellinie $\text{s}\backslash text\{s\}$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle 5\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{5\backslash cm\}$

Berechnen der Oberfläche des Kegels (Kreisel).

${\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=3\cdot \pi \cdot (3+5)\Rightarrow {\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=3\cdot 8\cdot \pi \backslash mathrm\{O\_\{Kegel\}=3\backslash cdot\; \backslash pi\backslash cdot(\{3+5\})\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; O\_\{Kegel\}=3\backslash cdot\; 8\backslash cdot\; \backslash pi\}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{75,4}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{O\_\{Kegel\}\backslash approx75\{,\}4\backslash \; cm^2\}$

Die lackierte Fläche hat einen Flächeninhalt von ungefähr :$\boxed{{\displaystyle \mathrm{75,4}{\text{ cm}}^2}}\backslash \; \backslash boxed\{75\{,\}4\backslash cm^2\}$