Heft 2 - B2

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Hier findest du die Aufgaben und Lösungen des Mathe ESA 2023 Prüfungsteil 2 Aufgabe 2.

Link zur Formelsammlung

Ein Taschenrechner ist in diesem Prüfungsteil erlaubt.

1
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Familie Sachs möchte für ihren Garten einen Aufstellpool kaufen.
Der Vater steckt folgende Fläche im Garten ab:
1. Gib die Größe der Fläche in $m^{2}$ an. /1P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  boxedBerechnen des Flächeninhalts der abgesteckten rechteckigen Fläche.
  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks lautet:
  $\boxed{\mathrm{A_{Rechteck}=Länge\cdot Breite}}$
  Einsetzen der Werte:
  $\mathrm{A_{Rechteck}=6{,}50\cdot 4{,}50}\ \ [\m^2]$
  $\mathrm{A_{Rechteck}=29{,}25\m^2}$
  Die rechteckige Fläche hat einen Flächeninhalt von $\boxed{29{,}25\m^2}$ .
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  Berechne die Fläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.
2. Damit der Pool nicht absackt, muss ein Teil des Erdbodens ausgetauscht werden.
  Berechne, wie viel $\text{m}^3$ Erde ausgetauscht werden müssen. /2P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
  Berechnen des Volumens der ausgetauschten Erde.
  Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts eines Quaders lautet;
  $\boxed{\mathrm{V_{Quader}=l\cdot b\cdot h}}$
  Einsetzen der Werte:
  $\mathrm{V_{Quader}=6.50\cdot 4{,}50\cdot 0{,}30}\ \ [\m^3]$
  $\mathrm{V_{Quader}=8{,}775\m^3}$
  Es müssen ca. $\ \boxed{8{,}8\m^3}$ Erde ausgetauscht werden.
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  Der Teil des Erdbodens, der ausgetauscht werden muss, hat die Form eines Quaders.
  Berechne mit der Formel für den Volumeninhalt eines Quaders das Volumen der ausgetauschten Erde.
2
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Abbildung zeigt die Grundfläche des Pools. Der Pool ist $6{,}10\ m$ lang, $3{,}60\ m\$ breit und $1{,}22\ m$ hoch.
(Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.)
1. Esra hat das Volumen des Pools mit folgendem Term berechnet:
  $V=(2{,}50\cdot3{,}60+1{,}8^2\cdot\pi)\cdot1{,}22$
  $V\approx23{,}4\ m^3$
  Erläutere, warum Esra das Volumen mit diesem Term berechnen kann. /3P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
  Zerlegung in Teilflächen
  Die Grundfläche des Pools kann in ein Rechteck und zwei Halbkreise bzw. einen Kreis zerlegt werden. Auf diesen Teilflächen steht entsprechend ein Quader und ein Zylinder.
  Das Rechteck hat die Seitenlängen $2,50$ und $3,60$ .
  Der Kreis hat einen Radius von $r = 1,8$
  Quader
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders lautet:
  $V_\text{Quader}=\text{Länge\,}\cdot\text{Breite\,}\cdot\text{Höhe}$
  Einsetzen der Werte:
  $V_\text{Quader}=2{,}50\cdot 3{,}60\cdot 1{,}22$
  Zylinder
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Tylinders lautet:
  $V_\text{Zylinder}=\text{Radius}^2 \cdot \pi \cdot\text{Höhe}$
  Einsetzen der Werte:
  $V_\text{Zylinder}=1{,}8^2 \cdot \pi \cdot 1{,}22$
  Volumen des Pools
  Das Volumen des Pools ist die Summe der Volumen seiner Teile.
  $V_\text{Pool}=V_\text{Quader}+V_\text{Zylinder}$
  Einsetzen der Werte und vereinfachen
  $V_\text{Pool}=2{,}50\cdot3{,}60\cdot1{,}22+1{,}8^2\cdot\pi\cdot1{,}22$
  $V_\text{Pool}=\left(2{,}50\cdot3{,}60+1{,}8^2\cdot\pi\right)\cdot1{,}22$
  Esras Formel ist korrekt.
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  Zerlege die Grundfläche in mehrere Teilflächen
  Anhand der geeigneten Volumenformel berechne das Volumen des Körpers auf den Teilflächen
2. In den Pool der Familie passen $23400$ Liter Wasser. Im Diagramm ist dargestellt, wie viele Liter Wasser sich in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit im Pool befinden.
  Bestimme, wie lange es dauert, bis der Pool vollständig mit Wasser gefüllt ist. /3P.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
  Zuordnung ablesen
  Aus dem Diagramm kannst du ablesen, dass es $2,5$ Stunden dauert, um $3000$ Liter Wasser einzufüllen.
  Proportionalitätsfaktor
  Der Proportionalitätsfaktor $p$ beträgt:
  $p=\dfrac{2{,}5}{3000}$
  Er gibt an, wie viel Zeit benötigt wird, um $1$ Liter Wasser einzufüllen.
  Zeit berechnen
  $\text{Füllzeit}=23\,400\cdot\dfrac{25}{3000}=19{,}5$
  Es dauert $19,5$ Stunden, bis der Pool gefüllt ist.
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  Lies im Diagramm eine geeignete Zuordnung von Zeit zu Litern ab.
  Errechne den Proportionalitätsfaktor
  Berechne damit, wie lange es dauert, bis der Pool gefüllt ist.
3
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Um das Wasser keimfrei zu halten, muss Familie Sachs eine Filterpumpe kaufen. Diese wälzt die $23400$ Liter Wasser im Pool einmal am Tag um. Die Betriebskosten sollen dabei möglichst gering sein.
Familie Sachs findet im Internet zwei Angebote:
Überprüfe, welche Filteranlage die Familie kaufen sollte. /3P.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Filteranlage "Flow"
Multipliziere die Dauer der Umwälzung des Wassers im Pool mit den Kosten pro Stunde.
$\dfrac{23\,400}{5\,678}\cdot 11{,}5 \approx 47{,}39$
Die Kosten der Umwälzung betragen bei der Filteranlage "Flow" ca. $47,39$ ct.
Filteranlage "Pazifik"
Multipliziere die Dauer der Umwälzung des Wassers im Pool mit den Kosten pro Stunde.
$\dfrac{23\,400}{11\,000}\cdot 35\approx 74{,}45$
Die Kosten der Umwälzung betragen bei der Filteranlage "Pazifik" ca. $74,45$ ct.
Vergleich der Kosten
$47{,}39\text{\,ct}<74{,}45\text{\,ct}$

Familie Sachs sollte die Filteranlage "Flow" kaufen.
Berechne für beide Filteranlagen, wie viele Stunden sie benötigen, um das Wasser umzuwälzen
Multipliziere die Anzahl der Stunden mit den Betriebskosten pro Stunde
Vergleiche die Kosten und entscheide
4
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Wahlteil zu B2
Du musst einen der beiden Wahlteile bearbeiten.
Um das Wasser auch bei hohen Temperaturen
keimfrei zu halten, muss Familie Sachs Desinfektionsmittel in ihren Pool geben. Pro Liter Wasser werden $0{,}75\;\text{mg}$ Desinfektionsmittel
hinzugefügt.
Berechne die Menge Desinfektionsmittel für eine Reinigung in $\text{ g}.$ /2P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
Desinfektionsmittel pro Liter Wasser: $0{,}75\text{\,mg}$ pro Liter
Inhalt des Pools: $23\,400$ Liter
$0{,}75\cdot 23\,400=17\,550$
Es werden $17\,550\text{\,mg}$ Desinfektionsmittel benötigt. Dies sind $17{,}55\text{\,g}$ .
Multipliziere die benötigte Menge des Desinfektionsmittels pro Liter Wasser mit der Menge des Wassers.

Um den Einstieg in den Pool zu erleichtern, baut Familie Sachs eine Holztreppe, die an die Poolwand gestellt wird.

Berechne den Abstand $x$ zur Poolwand in Metern. /2P.

6
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Pool kostet jetzt im Internet $1125$ €.
Esra meint: „Das ist $1,5$ -mal so viel wie der Preis, den wir bezahlt haben.“
Tom behauptet: „Der Pool ist $50$ % teurer als unser Pool war.“
Zeige, dass beide dasselbe beschreiben. /2P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
Esras Aussage
Teile den aktuellen Preis durch $1,5$ ( $1{,}5\widehat{=}150\%$ )
$\dfrac{1125}{1{,}5}=750$
Der Pool hat ursprünglich $750$ € gekostet. Der Preis ist jetzt $1,5$ -mal so hoch.
Toms Aussage
$\dfrac{750}{2}=375$
$375$ € sind $50 %$ des Poolpreises
$750 + 375 = 1125$
Der Pool ist jetzt $50 %$ teurer.
Beide beschreiben dasselbe.
Argumentiere über die Prozentangaben ( $1{,}5=150\%$ , das sind $50 %$ mehr als $100\%$ )

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1{,}3^2+x^2$	$=$	$\displaystyle 1{,}5^2$	$\displaystyle -1{,}3^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1{,}5^2-1{,}3^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1{,}5^2-1{,}3^2}$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}75$

Heft 2 - B2

boxedBerechnen des Flächeninhalts der abgesteckten rechteckigen Fläche.

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Berechnen des Volumens der ausgetauschten Erde.

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