Teil B: Analysis 2

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = \frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$ und $a \in ℝ, a > 0$ .
1. Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $- \frac{1}{4}$ hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $- \frac{1}{4}$ hat
  Gegeben ist $f_{a} (x) = \frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$ .
  $\Rightarrow f_{4} (x) = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x$
  Berechne $f_{4}^{'} (x) = \frac{3}{64} x^{2} - \frac{1}{2} x + 1$
  Löse die Gleichung $f_{4}^{'} (x) = - \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{3}{64} x^{2} - \frac{1}{2} x + 1 = - \frac{1}{4}$
  $\Rightarrow \frac{3}{64} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{5}{4} = 0$
  Die Stellen, an denen der Graph von $f_{4}$ eine Steigung von $- \frac{1}{4}$ hat, sind $x = 4$ und $x = \frac{20}{3}$ .
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  Löse die Gleichung $f^{'} (x) = - \frac{1}{4} .$
2. Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 | 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt.
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2 | 2)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
  Für $a > 0$ soll gelten: $f_{a} (2) = 2$ .
  $f_{a} (2) = \frac{1}{a^{3}} \cdot 2^{3} - \frac{1}{a} \cdot 2^{2} + 2 = 2 \Rightarrow \frac{1}{a^{3}} \cdot 8 - \frac{1}{a} \cdot 4 = 0 \Rightarrow \frac{4}{a} \cdot (\frac{2}{a^{2}} - 1) = 0$
  (Wegen $a > 0$ entfällt die Lösung $- \sqrt{a}$ .)
  Der Punkt $(2 | 2)$ liegt für $a = \sqrt{2}$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
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  Löse die Gleichung $f_{a} (2) = 2$ nach $a$ auf.
3. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ .
  Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.
  (2 P+3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Ermittele die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$
  $f_{a} (x) = \frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$
  $\Rightarrow f_{1} (x) = x^{3} - x^{2} + x$ und $f_{2} (x) = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x$
  Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
  $\Rightarrow x^{3} - x^{2} + x = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x \Rightarrow \frac{7}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} = 0$
  Berechne die zu $x = 0$ und $x = \frac{4}{7}$ gehörenden Funktionswerte:
  $f_{1} (0) = 0$ und $f_{1} (\frac{4}{7}) = \frac{148}{343}$
  Die Punkte $(0 | 0)$ und $(\frac{4}{7} | \frac{148}{343}) \approx (0,57 | 0,43)$ sind die gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ .
  Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt
  $f_{a} (0) = 0$ gilt unabhängig von $a$ . Wegen $f_{3} (\frac{4}{7}) \approx 0,47 \neq f_{1} (\frac{4}{7}) \approx 0,43$ liegt ausschließlich der Koordinatenursprung auf allen Graphen der Schar.
  
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  Teil 1
  Zur Berechnung der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{2}$ setze $f_{1} = f_{2}$ .
  Vereinfache die Gleichung und löse sie nach $x$ auf. Es gibt zwei Lösungen.
  Berechne die zugehörigen Funktionswerte.
  Teil 2
  $f_{a} (0) = 0$ gilt unabhängig von $a$ .
  Vergleiche z.B. $f_{3} (\frac{4}{7})$ mit $f_{1} (\frac{4}{7})$ . Was folgt daraus?
4. Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen
  0 und $\frac{a^{2} + \sqrt{a^{3} (a - 4)}}{2}$ und $\frac{a^{2} - \sqrt{a^{3} (a - 4)}}{2}$ , wobei die Lösung $0$ nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.
  Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe Deine Angabe anhand der obigen Terme
  Gegeben sind:
  0; $\frac{a^{2} + \sqrt{a^{3} (a - 4)}}{2}$ ; $\frac{a^{2} - \sqrt{a^{3} (a - 4)}}{2}$
  Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
  Betrachte den Term $(a - 4)$ :
  Wenn $a - 4 < 0$ ist, folgt $0 < a < 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln entfallen als Nullstellen. Es gibt also nur $1$ Nullstelle $x = 0$ .
  Wenn $a - 4 = 0$ ist, folgt $a = 4$ und die beiden Terme mit den Wurzeln fallen zusammen. Es gibt $2$ Nullstellen $x = 0$ und $x = \frac{a^{2}}{2}$ .
  Wenn $a - 4 > 0$ ist, folgt $a > 4$ und es gibt die $3$ oben angegebenen Nullstellen.
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  Für $a > 0$ ist auch $a^{3} > 0$ .
  Betrachte den Term $(a - 4)$ und führe eine Fallunterscheidung durch.
5. Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt.
  Bestimmen Sie den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Bestimme den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate
  Bekannt ist, dass der Graph jeder Funktion $f_{a}$ genau einen Wendepunkt hat.
  Berechne $f_{a}^{''} (x) = 0$ .
  $f^{'} (x) = 3 \cdot \frac{x^{2}}{a^{3}} - 2 \cdot \frac{x}{a} + 1$
  Dann ist $f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}$ .
  Berechnung der zweiten Ableitung und Lösung von $f_{a}^{''} (x) = 0$
  Die einzige Wendestelle liegt also bei $x = \frac{a^{2}}{3}$ .
  Wendepunkt mit der größten y-Koordinate
  Berechne die $y$ -Koordinate $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ des Wendepunktes.
  $f_{a} (\frac{a^{2}}{3}) = - \frac{2}{27} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} = f (a)$
  Für die Berechnung der maximalen y-Koordinate löse $f^{'} (a) = 0$ .
  Wegen $a > 0$ ist $a = 3$ die gesuchte Lösung.
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  Berechne $f_{a}^{''} (x) = 0$ . $\Rightarrow$ Man erhält eine Lösung $x_{1}$ in Abhängigkeit von $a$ .
  Berechne $f_{a} (x_{1})$ und löse $f_{a}^{'} (x_{1}) = 0 \Rightarrow$ liefert wegen $a > 0$ nur eine Lösung.
6. Im Folgenden gilt $a = 4$ .
  Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_{a}$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x$ , die den Graphen in den Punkten $O (0 | 0)$ und $P (u_{a} | f_{a} (u_{a}))$ schneidet. Die Gerade $g$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = u_{a}$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.
  Abbildung 1
  Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:
  $f_{a} (x) = x \Leftrightarrow x = 0 \lor x = a^{2}$ .
  $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a} (a^{2}) = 3 \cdot \int_{0}^{a^{2}} (x - f_{a} (x)) d x \Leftrightarrow a = 2$ .
  Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung $a = 2$ geometrisch. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch
  1. Rechenschritt: Zunächst werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet $\Rightarrow f_{a} (x) = x \Leftrightarrow x = 0 \lor x = a^{2}$
  2. Rechenschritt:
  Die Lösung $a = 2$ der Gleichung $\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot f_{a} (a^{2}) = 3 \cdot \int_{0}^{a^{2}} (x - f_{a} (x)) d x$ gibt denjenigen Wert von $a$ an, für den das rechtwinklige Dreieck den dreifachen Flächeninhalt besitzt wie das Flächenstück, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
  Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Für $a = 2$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{△} = 8 FE$ und der Flächeninhalt zwischen der Geraden $g$ mit dem Graphen von $f_{2}$ beträgt $A = \frac{8}{3} FE$ , sodass $A_{△} = 3 \cdot A$ ist $\Rightarrow 8 = 3 \cdot \frac{8}{3} ✓$ .
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  Im ersten Rechenschritt werden die Schnittstellen der Gerade $g$ mit dem Graphen von $f_{a}$ berechnet.
  Im zweiten Rechenschritt steht auf der linken Gleichungsseite der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks und auf der rechten Gleichungsseite steht der dreifache Flächeninhalt des Flächenstücks, das von $g$ und dem Graphen von $f_{a}$ eingeschlossen ist.
  Die Lösung dieser Gleichung ist $a = 2$ .
7. Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f_{4}$ .
  Abbildung 2
  $h$ ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse entsteht.
  (i) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt. (2 P)
  (ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche $A$ . (3 P)
  (iii) Es gibt einen Wert von $c \in ℝ, c > 0$ , für den die Fläche, die im Bereich von $x = c$ bis $x = 8$ zwischen dem Graphen von $f_{4}$ und der $x$ -Achse liegt, den Flächeninhalt $\frac{5}{3} FE$ besitzt.
  Geben Sie eine Gleichung an, mit der man diesen Wert von $c$ ermitteln kann. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  (i) Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A$ , die von $x = 0$ bis $x = 12$ zwischen den Graphen von $f_{4}$ und $h$ liegt
  Abbildung 2 mit Graph h und der eingeschlossenen Fläche
  Der Graph von $h$ wurde durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
  (ii) Berechne den Inhalt der Fläche $A$
  $f_{4} (x) = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x$
  Der Flächeninhalt wird berechnet mit:
  $A = 2 \cdot \int_{0}^{12} f_{4} (x) d x = 18$
  Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $18 FE$ .
  (iii) Gib eine Gleichung an, mit der man diesen Wert von $c$ ermitteln kann
  Gegeben: Die Fläche, die im Bereich von $x = c$ bis $x = 8$ zwischen dem Graphen von $f_{4}$ und der $x$ -Achse liegt, hat den Flächeninhalt $\frac{5}{3} FE$ .
  Die zugehörige Gleichung lautet also:
  
  $\int_{c}^{8} f_{4} (x) d x = \frac{5}{3}$
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  Teil (i)
  Der Graph von $h$ wird durch Spiegelung des Graphen von $f_{4}$ an der $x$ -Achse erzeugt.
  Teil (ii)
  Der Flächeninhalt wird berechnet mit $A = 2 \cdot \int_{0}^{12} f_{4} (x) d x$
  Teil (iii)
  Gegeben ist $A = \frac{5}{3}$ . Die Fläche berechnet sich mit $A = \int_{c}^{8} f_{4} (x) d x$ .
  Erstelle eine Gleichung.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne $U$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für $0 \leq t \leq 30$ mithilfe der in $ℝ$ definierten Funktion $v$ beschreiben, wobei gilt:
$v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} t}$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v (t)$ die Geschwindigkeit von $U$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
  Lasse Dir den Graphen von $v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt. Im Modellierungsbereich erhält man den Tiefpunkt $(t_{1} | y_{1})$ mit $t_{1} \approx 14$ und $y_{1} \approx - 6,3$ .
  Interpretiere die Werte im Sachkontext
  $U$ hat etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Geschwindigkeit von $- 6,3$ Meter pro Minute.
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  Teil 1
  Lasse Dir den Graphen von $v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} t}$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt $\Rightarrow t_{1}$ und $y_{1}$ .
  Teil 2
  $y_{1}$ ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{1}$ .
2. Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.
  Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ .
  Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Interpretiere die Aussage in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum
  Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit von $U$ positiv. Also sinkt $U$ in diesem Zeitraum immer langsamer.
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  Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U$ ?
3. Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter.
  Ermitteln Sie den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. (5 P)
  
  Ermittele den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
  $v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} \cdot t}$
  Betrachte den Term $4 t - 25$ .
  Für $t > \frac{25}{4} = 6,25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
  Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
  Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
  $U$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
  Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
  $10 + \int_{0}^{6,25} v (t) d t \approx 31,73687...$
  Der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31,7 m$ .
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  Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
  Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
  Der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
  Zu Beobachtungsbeginn berechne: $10 + \int_{0}^{t_{x}} v (t) d t$