Teil B: Analysis 2
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Aufgabe 1
Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit und .
Berechnen Sie die Stellen, an denen der Graph von eine Steigung von hat. (3 P)
Bestimmen Sie den Wert von so, dass der Punkt auf dem Graphen von liegt.
(3 P)
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von und .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.
(2 P+3 P)
Die Gleichung hat in Abhängigkeit von die Lösungen
0 und und , wobei die Lösung nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. (4 P)
Der Graph jeder Funktion hat genau einen Wendepunkt.
Bestimmen Sie den Wert von zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. (5 P)
Im Folgenden gilt .
Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion sowie die Gerade mit der Gleichung , die den Graphen in den Punkten und schneidet. Die Gerade , die -Achse und die Gerade mit der Gleichung begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.
Abbildung 1
Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:
.
.
Erläutern Sie diese Schritte und interpretieren Sie die Lösung geometrisch. (5 P)
Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion .
Abbildung 2
ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse entsteht.
(i) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von sowie die Fläche , die von bis zwischen den Graphen von und liegt. (2 P)
(ii) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche . (3 P)
(iii) Es gibt einen Wert von , für den die Fläche, die im Bereich von bis zwischen dem Graphen von und der -Achse liegt, den Flächeninhalt besitzt.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der man diesen Wert von ermitteln kann. (1 P)
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Aufgabe 2
Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für mithilfe der in definierten Funktion beschreiben, wobei gilt:
Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, die Geschwindigkeit von in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von und interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (3 P)
Mit wird die erste Ableitungsfunktion von bezeichnet.
Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt die folgende Aussage: und .
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von in diesem Zeitraum. (2 P)
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von zur Wasseroberfläche des Sees Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. (5 P)
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