Teil B, Gruppe 1 - lernen mit Serlo!

Gleichungen

Löse die Gleichung.
$21 \cdot x + 1,48 : 0,4 + (4 \cdot x - 2) : 2 = 7 \cdot (1,1 + 3 \cdot x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
$21 \cdot x + 1,48 : 0,4 + (4 \cdot x - 2) : 2$ $=$ $7 \cdot (1,1 + 3 \cdot x)$
↓
Multipliziere aus
$21 \cdot x + 3,7 + 4 \cdot x : 2 - 2 : 2$ $=$ $7 \cdot 1,1 + 7 \cdot 3 \cdot x$
$21 \cdot x + 3,7 + 2 \cdot x - 1$ $=$ $7,7 + 21 \cdot x$ $- 21 \cdot x$
$2,7 + 2 \cdot x$ $=$ $7,7$ $- 2,7$
$2 \cdot x$ $=$ $5$ $: 2$
$x$ $=$ $2,5$
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Als Ziel einer Klassenfahrt stehen mehrere Städte zur Wahl. In der Klasse sind 28 Schülerinnen und Schüler. Jede Schülerin und jeder Schüler hat genau eine Stimme.
Berlin erhält 5 Stimmen mehr als Nürnberg.
Köln erhält doppelt so viele Stimmen wie Nürnberg.
Ein Viertel der Klasse möchte nach Hamburg.
Ermittle nachvollziehbar, wie viele Stimmen auf jede Stadt entfallen.
/8
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Das Gleichungssystem
Hier muss man ein Gleichungssystem aufstellen.
Vorher wird der Anzahl an Stimmen, die jeweils für eine Stadt abgegeben wurden, eine Variabel zugeordnet:
$\begin{array}{l} b ≔ Anzahl der Stimmen, die für Berlin abgegeben wurden \\ n ≔ Anzahl der Stimmen, die für Nürnberg abgegeben wurden \\ k ≔ Anzahl der Stimmen, die für Köln abgegeben wurden \\ h ≔ Anzahl der Stimmen, die für Hamburg abgegeben wurden \end{array}$
Jetzt kann man, basierend auf den Angaben in der Aufgabenstellung, vier Gleichungen formulieren:
1.) $b + n + k + h = 28$
2.) $b = n + 5$
3.) $k = 2 \cdot n$
4.) $28 : 4 = h$
Berechnen der Variablen
Mit der vierten Gleichung kann man direkt den Wert von $h$ berechnen:
4.) $h = 28 : 4 = 7$
Mithilfe der zweiten Gleichung kann man in der ersten Gleichung das $b$ ersetzen, mithilfe der dritten das $k$ und für $h$ setzt man den Wert $7$ ein:
$b + n + k + h$ $=$ $28$
$n + 5 + n + 2 \cdot n + 7$ $=$ $28$
$4 \cdot n + 12$ $=$ $28$ $- 12$
$4 \cdot n$ $=$ $16$ $: 4$
$n$ $=$ $4$
Jetzt kann man auch $b$ und $k$ berechnen:
2.) $b = 4 + 5 = 9$
3.) $k = 2 \cdot 4 = 8$
Antwortsatz
Es wurden also $4$ Stimmen für Nürnberg abgegeben, $7$ für Hamburg, $8$ für Köln und $9$ für Berlin.
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Stelle mithilfe der Angaben in der Aufgabenstellung ein Gleichungssystem auf
Berechne die gesuchten Werte, indem du geschickt umstellst und einsetzt
Formuliere einen Antwortsatz

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$21 \cdot x + 1,48 : 0,4 + (4 \cdot x - 2) : 2$	$=$	$7 \cdot (1,1 + 3 \cdot x)$
	↓	Multipliziere aus
$21 \cdot x + 3,7 + 4 \cdot x : 2 - 2 : 2$	$=$	$7 \cdot 1,1 + 7 \cdot 3 \cdot x$
$21 \cdot x + 3,7 + 2 \cdot x - 1$	$=$	$7,7 + 21 \cdot x$	$- 21 \cdot x$
$2,7 + 2 \cdot x$	$=$	$7,7$	$- 2,7$
$2 \cdot x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$

$b + n + k + h$	$=$	$28$
$n + 5 + n + 2 \cdot n + 7$	$=$	$28$
$4 \cdot n + 12$	$=$	$28$	$- 12$
$4 \cdot n$	$=$	$16$	$: 4$
$n$	$=$	$4$

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Das Gleichungssystem

Berechnen der Variablen

Antwortsatz

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