Teil B, Gruppe 1

Gleichungen

Löse die Gleichung.

$21\cdot x+1{,}48:0{,}4+(4\cdot x−2):2=7\cdot(1{,}1+3\cdot x)$

Als Ziel einer Klassenfahrt stehen mehrere Städte zur Wahl. In der Klasse sind 28 Schülerinnen und Schüler. Jede Schülerin und jeder Schüler hat genau eine Stimme.

Berlin erhält 5 Stimmen mehr als Nürnberg.

Köln erhält doppelt so viele Stimmen wie Nürnberg.

Ein Viertel der Klasse möchte nach Hamburg.

Ermittle nachvollziehbar, wie viele Stimmen auf jede Stadt entfallen.

/8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Das Gleichungssystem

Hier muss man ein Gleichungssystem aufstellen.

Vorher wird der Anzahl an Stimmen, die jeweils für eine Stadt abgegeben wurden, eine Variabel zugeordnet:

$b \coloneqq \text{Anzahl der Stimmen, die für Berlin abgegeben wurden} \\ n \coloneqq \text{Anzahl der Stimmen, die für Nürnberg abgegeben wurden} \\ k \coloneqq \text{Anzahl der Stimmen, die für Köln abgegeben wurden} \\ h \coloneqq \text{Anzahl der Stimmen, die für Hamburg abgegeben wurden}$

Jetzt kann man, basierend auf den Angaben in der Aufgabenstellung, vier Gleichungen formulieren:

1.) $b + n + k + h = 28$

2.) $b = n + 5$

3.) $k = 2 \cdot n$

4.) $28 : 4 = h$

Berechnen der Variablen

Mit der vierten Gleichung kann man direkt den Wert von $h$ berechnen:

4.) $h = 28 : 4 = 7$

Mithilfe der zweiten Gleichung kann man in der ersten Gleichung das $b$ ersetzen, mithilfe der dritten das $k$ und für $h$ setzt man den Wert $7$ ein:

$\displaystyle b + n + k + h$	$=$	$\displaystyle 28$
$\displaystyle n + 5 \ + n + \ 2 \cdot n \ + 7$	$=$	$\displaystyle 28$
$\displaystyle 4 \cdot n + 12$	$=$	$\displaystyle 28 \ \ \ \ \ \$	$\displaystyle - 12$
$\displaystyle 4 \cdot n$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle 4$

Jetzt kann man auch $b$ und $k$ berechnen:

2.) $b = 4 + 5 = 9$

3.) $k = 2 \cdot 4 = 8$

Antwortsatz

Es wurden also $4$ Stimmen für Nürnberg abgegeben, $7$ für Hamburg, $8$ für Köln und $9$ für Berlin.

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2

Zwei Banken bieten Sparkonten für Auszubildende an. /4

Der 18-jährige Kai legt 1200 € für ein Jahr bei der Hamsterbank an.
Berechne, wie viel Geld er nach einem Jahr einschließlich der Zinsen auf seinem Konto hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Um den Gesamtbetrag zu berechnen, der am Ende des Jahres auf Kais Konto liegt, muss man die Zinsen, die die Bank ihm zahlt, und sein anfängliches Kapital $(1200 \, €)$ miteinander addieren.
Um die Betrag der Zinsen $Z$ zu berechnen, multipliziert man das Kapital $K$ mit dem Zinssatz $p$ :
$Z = K \cdot p = 1200 \, € \cdot 0{,}025 = 30 \, €$
Jetzt addiert man diesen Betrag zu dem Kapital:
$1200 \, € + 30 \, € = 1230 \, €$
Am Ende des Jahres hat Kai $1230 \, €$ auf dem Konto.
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Sophie hat für ein Jahr 5000 € bei der Jugendbank angelegt. Nach einem Jahr ist das Kapital einschließlich der Zinsen auf $5115$ € gestiegen.
Berechne den Zinssatz pro Jahr.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Um den Zinssatz $p$ zu berechnen, dividiert man den Betrag der Zinsen $Z$ durch das Kapital $K$ .
Das Kapital beträgt in diesem Fall $5000 \, €$ .
Die Zinsen berechnet man, indem man das Kapital am Anfang des Jahres von dem am Ende des Jahres abzieht:
$5115 \, € - 5000 \, € = 115 \, €$
Jetzt setzt man die berechneten Werte ein:
$p = Z : K = 115 \, € : 5000 \, € = 0{,}023 = 2{,}3 \%$
Die Jugendbank zahlt pro Jahr also $2{,}3 \%$ Zinsen.
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Luca legt sein erstes Ausbildungsgehalt von 900 € bei der Hamsterbank an. Nach 11 Monaten hebt er das Geld einschließlich der Zinsen ab und meint:
„Jetzt kann ich mir von dem Geld das Mountainbike zum Preis von 920 €
kaufen.“
Begründe rechnerisch, ob Luca recht hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Um zu berechnen, wie viel Zinsen Luca in 11 Monaten ausgezahlt bekommt, muss man zuerst berechnen, wie viel er in einem Jahr bekommen würde.
Die Zinsen nach einem Jahr
Um die Zinsen, die Luca in einem Jahr bekommen würde zu ermitteln, rechnet man wie in Teilaufgabe a).
$Z = K \cdot p = 900 \, € \cdot 0{,}025 = 22{,}5 \, €$
Die Zinsen nach 11 Monaten
Um zu berechnen, wie viel Zinsen Luca in 11 Monaten bekommt, dividiert man den Betrag, den er in einem Jahr bekommen würde durch die Anzahl der Monate in einem Jahr, also $12$ .
$22{,}5 \, € : 12 = 1{,}875 \, €$
Dann multipliziert man diesen Betrag mit $11$ :
$1{,}875 \, € \cdot 11 = 20{,}625 \, € \approx 20{,}63 \, €$
In 11 Monaten zahlt die Bank also $20{,}63 \, €$ an Luca aus.
Das Gesamtkapital nach 11 Monaten
Schließlich addiert man noch das ursprüngliche Kapital mit den Zinsen, um den Gesamtbetrag zu ermitteln:
$900 \, € + 20{,}63 \, € = 920{,}63 \, €$
Luca hat also recht.
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Berechne, wie viel Zinsen Luca bekommen würde, wenn er das Geld ein ganzes Jahr anlegen würde
Ermittle mithilfe des gerade berechneten Wertes, wie viel die Bank Luca in 11 Monaten auszahlt
Prüfe, ob Luca mit den Zinsen genug Geld auf dem Konto hat

3

Zeichne ein Dreieck $ABC$ mit $α=70°$ , $c=3\ cm$ und $β=70°$ .
Ergänze das Dreieck $ABC$ zu einem regelmäßigen Vieleck.
Notiere, welches Vieleck entsteht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Das Dreieck
In der Aufgabenstellung sind die Basis $c$ und die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gegeben.
Da $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, ist das Dreieck $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck.
Das regelmäßige Vieleck
Legt man jetzt mehrere dieser Dreiecke an den Schenkeln nebeneinander, so dass die Spitzen alle in die selbe Richtung zeigen, ergeben sie ein reguläres Vieleck.
Um herauszufinden, wie viele Ecken das Vieleck hat, berechnet man zuerst den Winkel $\gamma$ des Dreiecks ABC:
$180° - 70° - 70° = 110° - 70° = 40°$
Die Winkel der Spitzen aller Dreiecke in dem Vieleck müssen zusammen $360°$ ergeben.
Um die Anzahl der Dreiecke im Vieleck zu ermitteln, dividiert man also die Winkelgröße aller Spitzen durch die Winkelgröße einer Spitze:
$360° : 40° = 9$
Das Vieleck ist ein Neuneck und besteht aus $9$ Dreiecken.
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In der Aufgabenstellung ist die Länge der Basis sowie die Größe der beiden Basiswinkel gegeben. Zeichne basierend darauf ein gleichschenkliges Dreieck.
Berechne die Größe des dritten Winkels.
Legt man mehrere Dreiecke $ABC$ am Schenkel nebeneinander, sodass die Spitzen alle nach innen zeigen, so ergeben sie ein reguläres Vieleck. Berechne mithilfe des dritten Winkels, aus wie vielen der Dreiecke das Vieleck besteht.
Die Abbildung zeigt das Bestimmungsdreieck eines weiteren regelmäßigen Vielecks.
Entscheide, um welches Vieleck es sich
handelt und begründe deine Entscheidung.
Hinweis:
Abbildung nicht maßstabsgetreu
Quelle: StMUK
/4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Hier geht man wie bei Teilaufgabe a) vor:
Zuerst berechnet man den Winkel an der Spitze:
$180° - 72° - 72° = 108° - 72° = 36°$
Die Winkel der Spitzen müssen zusammen genommen $360°$ ergeben, also dividiert man $360°$ durch die Winkelgröße einer Spitze:
$360° : 36° = 10$
Das Vieleck ist ein Zehneck.
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4

Das kleine Quadrat in der Abbildung hat einen Flächeninhalt von $12{,}25\ m^2$ .

Bestimme den Umfang des grau gefärbten Quadrats.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Quelle: StMUK

5

Der abgebildete Baustein besteht aus

einer Pyramide und einem Würfel mit

einer durchgehenden zylinderförmigen

Bohrung.

Der Baustein hat eine Gesamthöhe von

$7{,}5\ cm$ .

Bestimme das Volumen des Bausteins.

Hinweis:

Skizze nicht maßstabsgetreu

Quelle: StMUK

/4

cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln

Das Volumen des Zylinders

Um das Volumen des Zylinders zu berechnen, braucht man den Flächeninhalt seiner Grundfläche und seine Höhe.

Der Zylinder ist so hoch wie der Würfel breit ist, also ist $h = 3{,}5 \cm$ .

Der Durchmesser des Zylinders ist ebenfalls gegeben, womit man den Radius berechnen kann:

$r = 0{,}5 \cdot d = 0{,}5 \cdot 2{,}5 = 1{,}25$

Mithilfe des Radius kann man jetzt den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:

$A_{\text{Grundfläche}} = r^2 \cdot \pi = 1{,}25^2 \cdot \pi = 1{,}5625 \cdot \pi$

Die Grundfläche hat also einen Flächeninhalt von $1{,}5625 \cdot \pi \cm^2$ .

Diesen Wert multipliziert man nun mit der Höhe des Zylinders:

$1{,}5625 \cdot \pi \cdot 3{,}5 \approx 17{,}18$

Der Zylinder hat ein Volumen von ca. $17{,}18 \cm^3$ .

Das Volumen des Würfels

Um das Volumen des Würfels zu berechnen, multipliziert man einfach seine Länge, Höhe und Breite miteinander.

Da es sich um einen Würfel handelt, sind alle drei Werte gleich, nämlich $3{,}5 \cm$ .

$3{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 42{,}875$

Der Würfel hat ein Volumen von $42{,}875 \cm^3$ .

Das Volumen der Pyramide

6Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, braucht man den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide und ihre Höhe.

Um die Höhe der Pyramide zu ermitteln, subtrahiert man die Höhe des Würfels von der Gesamthöhe der Figur:

$7{,}5 - 3{,}5 = 4$

Die Pyramide ist also $4 \cm$ hoch.

Die Grundfläche ist so groß wie eine der Seiten des Würfels.

$3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25$

Die Grundfläche der Pyramide hat einen Flächeninhalt von $12{,}25 \cm^2$ .

Jetzt setzt man die errechneten Werte in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:

$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12{,}25 \cdot 4 = 16,\overline{3} \approx 16{,}33$

Die Pyramide hat also ein Volumen von ca. $16{,}33 \cm^3$ .

Das Volumen der Figur

Das Volumen der Figur setzt sich zusammen aus dem Volumen des Würfels und der Pyramide, minus dem Volumen des Zylinders.

$V_{\text{Figur}} = V_\text{Würfel} + V_\text{Pyramide} - V_\text{Zylinder} = 42{,}875 + 16{,}33 - 17{,}18 = 42{,}025$

Die Figur hat ein Volumen von $42{,}025 \cm^3$ .

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6

Die Tabelle zeigt drei Energieträger und die daraus gewonnenen elektrischen

Energiemengen eines Landes im Jahr 2020 in Kilowattstunden ( $\text{kWh}$ ).

Gib die aus Solarenergie gewonnene Energiemenge in Kilowattstunden als Zehnerpotenz in Standardschreibweise an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzschreibweise großer und kleiner Zahlen
Eine Milliarde ist eine Eins mit 9 Nullen.
$13$ Milliarden sind somit $13\,000\,000\,000=1{,}3\cdot 10^{10}$
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Im Jahr 2020 betrug die Gesamtmenge der genutzten Energie des Landes
$74{,}9$ Milliarden $\text{kWh}$ .
Berechne den prozentualen Anteil der aus der Windenergie gewonnenen
Energiemenge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Der prozentuale Anteil $p$ wird berechnet mit der Formel
$p=\dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
Einsetzen der Werte
$p=\dfrac{4{,}9}{74{,}9}\approx 0{,}065$
Der prozentuale Anteil der aus der Windenergie gewonnenen Energiemenge beträgt ca. $6{,}5\%$
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Berechne die Energiemenge, die zusammen aus Wasserkraft und Windenergie gewonnen wurde.
Gib das Ergebnis in Gigawattstunden ( $\text{GWh}$ ) an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Große Zahlen
Energiemenge berechnen
Die Energiemenge aus Wasserkraft und Windenergie beträgt zusammen
$11{,}1+4{,}9=16$ Milliarden kWh
Umrechnung von kWh in GWh
$1\text{\,GWh}=1\,000\,000\text{\,kWh}$
$\dfrac{16\,000\,000\,000}{1\,000\,000}=16\,000$
Die Energiemenge aus Wasserkraft und Windenergie beträgt zusammen $16\,000\text{\,GWh}$
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Addiere die Energiemenge aus Wasserkraft und Windenergie
Rechne kWh in GWh um
In Deutschland leben $84$ Millionen Menschen und verbrauchen insgesamt
$1{,}512\cdot10^{11}$ Kilowattstunden ( $\text{kWh}$ ) im Jahr.
Ermittle den jährlichen Verbrauch pro Person.
/4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Große Zahlen
Zur Berechnung des jährlichen Verbrauchs pro Person wird die gesamte verbrauchte Menge durch die Anzahl der Personen geteilt.
$\dfrac{1{,}512\cdot 10^{11}}{84\,000\,000}=\dfrac{151\,200\,000\,000}{84\,000\,000}=1\,800$
Der jährliche Verbrauch pro Person beträgt $1\,800\text{\,kWh}$
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7

Die folgende Tabelle zeigt den Futterbedarf eines Elefanten pro Tag.

Bestimme die in der Tabelle fehlenden Werte:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Ein Elefant braucht $200 \, \text{kg}$ Futter pro Tag.
$10$ Elefanten brauchen also $8 \cdot 200 \, \text{kg} = 1600 \, \text{kg}$ Futter pro Tag.
Umgekehrt werden von $1000 \, \text{kg}$ Futter pro Tag $1000 \, \text{kg} : 200 \, \text{kg} = 5$ Elefanten satt.
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Stelle den Zusammenhang von Futtermenge und Anzahl der Elefanten
in einem Koordinatensystem graphisch dar.
Rechtswertachse: $1\ cm≙1$ Elefant
Hochwertachse: $1\ cm≙200\ kg$
Hinweis zum Platzbedarf: Rechtswertachse $9\ cm$ , Hochwertachse $9\ cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Das Verhältnis zwischen $\text{Anzahl Elefanten}$ und $\text{Futtermenge}$ ist linear.
Für jeden weiteren Elefanten der dazukommt braucht man also $200 \, \text{kg}$ Futter mehr.
So sieht der Graph dieses Verhältnisses aus:
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Im Lager befinden sich $5{,}4$ Tonnen Futter.
Berechne, wie viele Tage $3$ Elefanten damit gefüttert werden können.
/4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
Pro Tag brauchen die $3$ Elefanten $3 \cdot 200 \, \text{kg} = 600 \, \text{kg}$ Futter.
$5{,}4$ Tonnen in Kilogramm umgerechnet ergeben $5400 \, \text{kg}$ .
Jetzt dividiert man die vorhandene Menge an Futter durch die Menge, die pro Tag verbraucht wird:
$5400 : 600 = 9$
Mit $5{,}4$ Tonnen Futter können $3$ Elefanten $9$ Tage lang gefüttert werden.
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8

Berechnen Sie für folgende Längen die Höhe des Baumes (siehe Skizze):

$a=20\ cm,\ b=25\ cm,c=20\ m,d=1{,}60\ m$

$\displaystyle 21 \cdot x + 1{,}48 : 0{,}4 + (4 \cdot x - 2) : 2$	$=$	$\displaystyle 7 \cdot (1{,}1 + 3 \cdot x)$
	↓	Multipliziere aus
$\displaystyle 21 \cdot x + 3{,}7 + 4 \cdot x : 2 - 2 : 2$	$=$	$\displaystyle 7 \cdot 1{,}1 + 7 \cdot 3 \cdot x$
$\displaystyle 21 \cdot x + 3{,}7 + 2 \cdot x - 1$	$=$	$\displaystyle 7{,}7 + 21 \cdot x$	$\displaystyle -21 \cdot x$
$\displaystyle 2{,}7 + 2 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 7{,}7$	$\displaystyle -2{,}7$
$\displaystyle 2 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle 82{,}81 - 12{,}25$
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle 70{,}56$	$\displaystyle \sqrt{\ \ \ \ \ }$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 8{,}4$

$\displaystyle \frac{20}{x}$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{2000}$	$\displaystyle \cdot x \cdot 2000$
$\displaystyle 20 \cdot 2000$	$=$	$\displaystyle 25 \cdot x$	$\displaystyle : 25$
$\displaystyle \frac{40000}{25}$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 1600$	$=$	$\displaystyle x$

Teil B, Gruppe 1