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A3

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=12x33x2+32x+5,x, und g(x)=3x+5,x.

    1. Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von f und g gemeinsame Punkte besitzen. (4 P)

    2. Der Punkt P(3|f(3)) ist einer dieser gemeinsamen Punkte.

      Zeigen Sie: Der Graph von g ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt P. (1 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Betrachtet wird die in definierte Funktion f mit f(x)=e(x2).

    1. Geben Sie die Wertemenge von f an. (2 P)

    2. Für die erste Ableitungsfunktion f von f gilt f(x)=2xf(x).

      Die Graphen von f und f schneiden sich in einem Punkt.

      Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f in diesem Punkt. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Eine in definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f mit erster Ableitungsfunktion f und zweiter Ableitungsfunktion f hat folgende Eigenschaften:

    • f hat bei x1 eine Nullstelle.

    • Es gilt f(x2)=0 und f(x2)0.

    • f hat ein Minimum an der Stelle x3.

    Abbildung 1 zeigt die Positionen von x1,x2 und x3.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist. (2 P)

    2. Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von f. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die in definierte Funktion f:xx2+2ax mit a,a>1.

    Die Nullstellen von f sind 0 und 2a.

    1. Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, den Inhalt 43a3 hat. (2 P)

    2. Der Hochpunkt des Graphen von f liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen

      (vgl. Abbildung 2).

      Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der x-Achse einschließt, überein.

      Bestimmen Sie den Wert von a. (3 P)

      Abbildung 2

      Abbildung 2

  5. 5

    Aufgabe 5

    Gegeben ist das Gleichungssystem

    I2x+z=0II2y+4z=0III2y5z=1mitx,y,z.

    1. Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems. (3 P)

    2. Es gibt einen Wert von r mit r, für den das Gleichungssystem

      I2x+z=0II2y+4z=0III2yrz=1mitx,y,z

      keine Lösung besitzt.

      Ermitteln Sie diesen Wert. (2 P)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X gilt: μ=60,σ=6.

    1. Berechnen Sie p und n. (2 P + 1 P)

    2. In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen 150-mal eine Kugel gezogen.

      (i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau 60-mal eine schwarze Kugel gezogen wird. (1 P)

      (ii) Beschreiben Sie ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von

      0,45(14555)0,4550,690. (1 P)


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