Geben Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermitteln Sie
die Lösungsmenge rechnerisch.
_/3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.
Setze jeden der Nenner gleich Null.
8x+16=0
8x=−16 ⇒ x=−2
2x+4=0
2x=−4 ⇒ x=−2
Der Nenner wird Null bei:
x=−2⇒D=ℝ∖{−2}
328x+16=5x2x+4
Über Kreuz multiplizieren
Klammern auflösen
ordnen und zusammenfassen
vereinfachen
Benutze zur Lösung der quadratischen Gleichung die Mitternachtsformel.
Die Mitternachtsformel lautet:
x1,2=−b±b2−4ac2a
einsetzen der Werte in die Mitternachtsformel und berechnen von x1,2
x1,2=−0,4±0,16+12,82
x1,2=−0,4±12,962
x1,2=−0,4±3,62 ⇒ x1=−2undx2=1,6
x1 müssen wir als Lösung ausschließen, da −2 nicht in der Definitionsmenge enthalten ist.
Die Lösungsmenge ist dann: 𝕃={1,6}
Alternative Lösung zur Bestimmung der Lösungsmenge
Kürze den ersten Bruch mit 4, dann wird
328x+16=5x2x+4 zu 82x+4=5x2x+4.
Zwei Brüche mit demselben Nenner sind genau dann gleich, wenn die Zähler gleich sind, also 8=5x. Division durch 5 ergibt x=1,6, also 𝕃={1,6}.
Ermittle die Definitionsmenge .
Setze den Nenner gleich 0 .
Berechne x .