Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Gegeben ist die quadratische Funktion $p : x \mapsto - x^{2} + 1$ mit der Definitionsmenge $D_{p} = ℝ$ .
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{p}$ bezeichnet.
Der Graph $G_{p}$ und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
Gegeben: $p (x) = - x^{2} + 1$
Berechne die Nullstellen von $p$ :
$0 = - x^{2} + 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = - 1 \lor x = 1$
$A = \int_{- 1}^{1} p (x) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x]}_{- 1}^{1} = (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 1) - (- \frac{1}{3} \cdot (- 1)^{3} - 1) = - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} + 1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt $\frac{4}{3} FE$ .
Berechne die Nullstellen von $p$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne $A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} p (x) d x$ .
2
Gegeben ist die Funktion $k : x \mapsto 0,5 (x - 3)^{2} (2 x + \frac{4}{3})$ mit der Definitionsmenge $D_{k} = ℝ$ .
1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion $k$ mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an und bestimmen Sie damit ein Intervall, in dem die x-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen der Funktion $k$ liegt. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Gib die Nullstellen der Funktion $k$ mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an
  Gegeben: $k (x) = 0,5 (x - 3)^{2} (2 x + \frac{4}{3})$
  Die Nullstellen erhältst Du mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $0 = 0,5 (x - 3)^{2} (2 x + \frac{4}{3}) \Rightarrow (x - 3)^{2} = 0$ oder $2 x + \frac{4}{3} = 0$
  Du erhältst die doppelte Nullstelle $x = 3$ und die einfache Nullstelle $x = - \frac{2}{3}$ .
  Bestimme damit ein Intervall, in dem die x-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen der Funktion $k$ liegt
  Bei der Funktion $k$ handelt es sich um eine Funktion $3$ . Grades, mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. ihr Graph verläuft von links unten nach rechts oben. Der Hochpunkt muss also zwischen den beiden Nullstellen, d.h. im Intervall $] - \frac{2}{3}; 3 [$ liegen.
  Siehe Skizze:
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  Die Nullstellen erhältst Du mit dem Satz vom Nullprodukt. Gib auch ihre Vielfachheit an.
  Bei der Funktion $k$ handelt es sich um eine Funktion $3$ . Grades, mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. ihr Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
  Was folgt daraus?
2. In der nachfolgenden Abbildung sind Ausschnitte der Graphen $G_{A}, G_{B}$ und $G_{C}$ von in ganz $ℝ$ definierten Funktionen dargestellt.
  Entscheiden Sie begründet, welcher der drei Graphen $G_{A}, G_{B}$ bzw. $G_{C}$ zur
  Ableitungsfunktion von $k$ gehört. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Entscheide begründet, welcher der drei Graphen $G_{A}, G_{B}$ bzw. $G_{C}$ zur Ableitungsfunktion von $k$ gehört
  Die doppelte Nullstelle $x = 3$ bleibt bei der 1. Ableitung erhalten, d.h. $k^{'} (3) = 0$ . Dies ist nur bei $G_{C}$ der Fall.
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  Die doppelte Nullstelle $x = 3$ bleibt bei der 1. Ableitung erhalten.
3
Gegeben sind die Funktionen $g$ und $h$ durch die Funktionsgleichungen $g (x) = 2 e^{x} - 1$ und $h (x) = e^{2 x}$ mit den Definitionsmengen $D_{g} = D_{h} = ℝ$ .
1. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes $P$ der Graphen der beiden Funktionen $g$ und $h$ . [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Bestimme rechnerisch die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes $P$ der Graphen der beiden Funktionen $g$ und $h$
  Löse die Gleichung $g = h$ :
  $2 e^{x} - 1 = e^{2 x} \Rightarrow e^{2 x} - 2 e^{x} + 1 = 0$
  Setze $e^{x} = u \Rightarrow u^{2} - 2 u + 1 = 0 \Rightarrow (u - 1)^{2} = 0 \Rightarrow u = 1$
  $\Rightarrow e^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$
  $g (0) = h (0) = 1 \Rightarrow P (0 | 1)$
  Die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes $P$ der Graphen der beiden Funktionen $g$ und $h$ sind $(0 | 1)$ .
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2. Der Graph der Funktion $g$ wird an der x-Achse gespiegelt und anschließend um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschoben. Der daraus entstandene neue Funktionsgraph gehört zur Funktion $j$ .
  Geben Sie einen Funktionsterm der Funktion $j$ an. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
  Gib einen Funktionsterm der Funktion $j$ an
  Der Graph der Funktion $g$ wird an der x-Achse gespiegelt $\Rightarrow - (2 e^{x} - 1)$
  Um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschoben $\Rightarrow + 2$
  $j (x) = - (2 e^{x} - 1) + 2 = - 2 e^{x} + 1 + 2 = - 2 e^{x} + 3$
  Der Funktionsterm der Funktion $j$ lautet $j (x) = - 2 e^{x} + 3$ .
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  Der Graph der Funktion $g$ wird an der x-Achse gespiegelt $\Rightarrow - g (x)$
  Um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschoben $\Rightarrow + 2$
4
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{f^{'}}$ der Ableitungsfunktion $f^{'}$ einer auf ganz $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades. Die Funktion $F$ bezeichne eine Stammfunktion von $f$ . [5 BE]
Entscheiden Sie jeweils, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entschieden (n) werden kann. Kreuzen Sie entsprechend an.
Hinweis: Jedes richtig gesetzte Kreuz ergibt +1 BE, jedes falsch gesetzte –1 BE und jedes nicht gesetzte 0 BE. Im ungünstigsten Fall wird die Aufgabe mit 0 BE bewertet.
Aussage
w
f
n
$G_{f}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
$G_{f}$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
$G_{f}$ besitzt einen globalen Tiefpunkt.
$F$ hat genau vier Nullstellen.
Für $x \to - \infty$ gilt: $f (x) \to \infty$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Entscheide jeweils, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entschieden (n) werden kann
Der Graph $G_{f^{'}}$ ist eine Funktion 3. Grades. Daher ist die Funktion $f$ eine Funktion 4. Grades.
Aussage: $G_{f}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung $\Rightarrow$ falsch, da eine Funktion 4. Grades nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein kann.
Aussage: $G_{f}$ besitzt genau zwei Wendepunkte (in dem gezeichneten Bereich von $- 2 \leq x \leq 2)$ $\Rightarrow$ wahr, da $f^{'}$ zwei Extrema besitzt, d.h. $f^{''}$ hat genau zwei Nullstellen.
Aussage: $G_{f}$ besitzt einen globalen Tiefpunkt $\Rightarrow$ wahr.
Die linke Nullstelle von $f^{'}$ ist $x_{1}$ . Hier hat $f^{'}$ einen Vorzeichenwechsel von $- \to + \Rightarrow T P_{1}$ .
Die mittlere Nullstelle von $f^{'}$ ist $x_{2}$ . Hier hat $f^{'}$ einen Vorzeichenwechsel von $+ \to - \Rightarrow H P$ .
Die rechte Nullstelle von $f^{'}$ ist $x_{3}$ . Hier hat $f^{'}$ einen Vorzeichenwechsel von $- \to + \Rightarrow T P_{2}$ .
Unterhalb von der Nullstelle $x_{1}$ ist $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow$ die Funktion fällt. Damit ist es eine nach oben offene Funktion 4. Grades, die einen kleinsten Wert hat, einen globalen Tiefpunkt.
Aussage: $F$ hat genau vier Nullstellen $\Rightarrow$ $F$ ist eine Funktion 5. Grades, d.h. es sind maximal fünf Nullstellen möglich. Deshalb kann nicht entschieden werden, dass $F$ genau vier Nullstellen hat.
Aussage: Für $x \to - \infty$ gilt: $f (x) \to \infty$ $\Rightarrow$ wahr. Für $x \to - \infty$ geht $f^{'} (x) \to - \infty \Rightarrow f (x) \to \infty$
Kreuze entsprechend an.
Aussage
w
f
n
$G_{f}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
x
$G_{f}$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
w
$G_{f}$ besitzt einen globalen Tiefpunkt.
w
$F$ hat genau vier Nullstellen.
x
Für $x \to - \infty$ gilt: $f (x) \to \infty$
w
Der Graph $G_{f^{'}}$ ist eine Funktion 3. Grades. Daher ist die Funktion $f$ eine Funktion 4. Grades.
1. Aussage: Funktionen 4. Grades sind symmetrisch zur y-Achse.
2. Aussage: Wie viele Extrema hat $f^{'}$ ? Wie viele Nullstellen hat dann $f^{''}$ ?
3. Aussage: $f^{'}$ hat drei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .
Vergleiche $\int_{x_{1}}^{x_{2}} f^{'} (x) d x$ mit $\int_{x_{2}}^{x_{3}} f^{'} (x) d x$ .
4. Aussage: $F$ ist eine Funktion 5. Grades, d.h. es sind maximal fünf Nullstellen möglich. Was folgt daraus?
5. Aussage: Wie verhält sich $f^{'}$ für $x \to - \infty$ ? Was daraus für $f (x)$ ?

Aussage	w	f	n
$G_{f}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.		x
$G_{f}$ besitzt genau zwei Wendepunkte.	w
$G_{f}$ besitzt einen globalen Tiefpunkt.	w
$F$ hat genau vier Nullstellen.			x
Für $x \to - \infty$ gilt: $f (x) \to \infty$	w

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks

Gib die Nullstellen der Funktion k mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an

Bestimme damit ein Intervall, in dem die x-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen der Funktion k liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Entscheide begründet, welcher der drei Graphen GA,GB bzw. GC zur Ableitungsfunktion von k gehört

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes P der Graphen der beiden Funktionen g und h

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Gib einen Funktionsterm der Funktion j an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Entscheide jeweils, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entschieden (n) werden kann

Gib die Nullstellen der Funktion $k$ mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an

Bestimme damit ein Intervall, in dem die x-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen der Funktion $k$ liegt

Entscheide begründet, welcher der drei Graphen $G_{A}, G_{B}$ bzw. $G_{C}$ zur Ableitungsfunktion von $k$ gehört

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des einzigen gemeinsamen Punktes $P$ der Graphen der beiden Funktionen $g$ und $h$

Gib einen Funktionsterm der Funktion $j$ an