Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie: ohne Hilfsmittel

In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene E: $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4$ und die Geradenschar $G_{k} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$ mit $r, k \in ℝ$ gegeben.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
Bestimme die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen
$E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4$
Überführe die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsform:
$E : \frac{x_{1}}{4} + \frac{2 x_{2}}{4} - \frac{x_{3}}{4} = 1 \Rightarrow E : \frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{2} - \frac{x_{3}}{4} = 1$
$\Rightarrow S_{x_{1}} (4 | 0 | 0)$ , $S_{x_{2}} (0 | 2 | 0)$ , $S_{x_{3}} (0 | 0 | - 4)$
Veranschauliche die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem
Ebene E
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Teil 1
Überführe die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsform und lies die Koordinatenschnittpunkte ab.
Teil 2
Trage die drei Koordinatenschnittpunkte in die Abbildung ein und verbinde die drei Punkte.
Überprüfen Sie, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Überprüfe, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet
Der Richtungsvektor der Geraden $g_{k}$ muss parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein.
$E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4 \Rightarrow {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array}) \Rightarrow \vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$
$r \cdot {\vec{n}}_{E} = \vec{u}$
$\Rightarrow r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - k - 2 \\ k \end{array})$
Aus Gleichung $(I)$ folgt: $r = - 2$
$r = - 2$ eingesetzt in Gleichung $(I I)$ folgt: $- 2 \cdot 2 = - k - 2 \Rightarrow k = 2$
$r = - 2$ und $k = 2$ eingesetzt in Gleichung $(I I I)$ folgt: $- 2 \cdot (- 1) = 2 ✓$
Für $k = 2$ schneidet die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Ebene $E$ mit senkrechter Geraden $g_{2}$
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Der Richtungsvektor der Geraden $g_{k}$ muss parallel zum Normalenvektor der Ebene $E$ sein. Löse das entstehende Gleichungssystem.
Die Ebene $F$ beinhaltet die $x_{3}$ -Achse und steht senkrecht auf der Ebene $E$ . Geben Sie eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Gib eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an
Wenn $F$ senkrecht auf $E$ steht, dann ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $F$ .
Ein zweiter Richtungsvektor ist der Einheitsvektor in Richtung der $x_{3} -$ Achse $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Die Ebene $F$ geht durch den Koordinatenursprung.
$\Rightarrow F : \vec{x} = r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Ebene $F$ senkrecht zu $E$
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Wenn $F$ senkrecht auf $E$ steht, dann ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $F$ .
Ein zweiter Richtungsvektor ist der Einheitsvektor in Richtung der $x_{3} -$ Achse $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Die Ebene $F$ geht durch den Koordinatenursprung.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen

Veranschauliche die Lage der Ebene E in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem

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Überprüfe, ob ein Wert für k existiert, sodass die Gerade gk die Ebene E senkrecht schneidet

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Gib eine Gleichung der Ebene F in Parameterform an

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Bestimme die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen

Veranschauliche die Lage der Ebene $E$ in dem nachfolgend abgebildeten Koordinatensystem

Überprüfe, ob ein Wert für $k$ existiert, sodass die Gerade $g_{k}$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet

Gib eine Gleichung der Ebene $F$ in Parameterform an