B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.

Der in der Abbildung dargestellte Körper $A B C D E F$ ist ein dreieckiges Prisma.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an
Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
Somit hat $B$ die Koordinaten $B (48 ∣ 64 ∣ 0)$ .
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Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_{a}(0|0| a)$ gegeben.
Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ .
$\overrightarrow{E G_{a}}=\overrightarrow{O G_{a}}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
Damit das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ null ergeben.
$\overrightarrow{E G_{a}} \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}=2304-2304+0=0$
Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ und ihr Skalarprodukt, das gleich null sein muss.
Der Punkt $G_{a}$ soll die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen.
Geben Sie ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke im Verhältnis teilen
Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt
Es ist $g_{AD}:\vec x=r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$ .
Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss $r=\dfrac{2}{3}$ sein.
$G_{a}$ liegt auf $g_{AD}$ $\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}=\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;a=\dfrac{2}{3}\cdot 246=164$
Für $a = 164$ (bzw. $a = 82$ ) teilt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ .
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$G_{a}$ liegt auf $g_{AD}$ .
Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss der Parameter der Geraden $g_{AD}$ gleich $\dfrac{2}{3}$ sein.
Für $a = 246$ gilt $G_{a}=D$ .
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ und das Volumen des Prismas $A B C D E F$ . (3 P)
$[$ Zur Kontrolle: $V_{\text {Prisma }}=590400\;\mathrm{VE}$ . $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$
Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ .
$A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{E D}|\cdot |\overrightarrow{E F}|$
$\overrightarrow{ED}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{ED}\right|=\sqrt{(-48)^2+(-64)^2}=80$
$\overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{EF}\right|=\sqrt{(-48)^2+36^2}=60$
$A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot 80\cdot 60=2400$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ beträgt $2400\;\text{FE}.$
Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$
Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
Dabei ist $A_{DEF}=2400$ und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
$\Rightarrow\;V_{\text {Prisma }}=2400 \cdot 246=590400$
Das Volumen des Prismas $A B C D E F$ beträgt $590400\;\text{VE}$ .
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Teil 1
Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ . $A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{E D}|\cdot |\overrightarrow{E F}|$
Teil 2
Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
$A_{DEF}$ wurde im Teil 1 berechnet und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes BBB an

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Zeige, dass das Dreieck GaEFG_{a} E FGa​EF für jedes a≥0a \geq 0a≥0 im Punkt EEE rechtwinklig ist

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Gib ein a≥0a \geq 0a≥0 so an, dass GaG_{a}Ga​ diese Bedingung erfüllt

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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks DEFDEFDEF

Berechne das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF

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Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an

Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist

Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$

Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$