Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ an

Die beiden Schnittstellen können aus der Abbildung entnommen werden.

Die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ sind $x=0x=0$ und $x=3x=3$.

Zeige $D(x)D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $dd$

Wenn $D(x)D(x)$ eine Stammfunktion der Funktion $dd$ ist, dann muss $D^{\mathrm{\prime }}(x)=d(x)D\text{'}(x)=d(x)$ sein.

Bilde die erste Ableitung von $DD$ mit der Produktregel:

$D(x)=(4-x)\cdot {\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\cdot x^2-3\cdot xD(x)=(4-x)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}+0\{,\}5\; \backslash cdot\; x^\{2\}-3\; \backslash cdot\; x$

$\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x+(4-x)\cdot e^x+x-3=-e^x\cdot (1-4+x)+x-3\backslash Rightarrow\backslash ;\; D\text{'}(x)=\; -e^x+(4-x)\backslash cdot\; e^x+x-3=-e^x\backslash cdot\; (1-4+x)+x-3$

$\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x\cdot (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\cdot e^x=d(x)\backslash Rightarrow\backslash ;\; D\text{'}(x)=-e^x\backslash cdot\; (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\backslash cdot\; e^x=d(x)$

Damit ist $D(x)D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $dd$.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=D(3)-D(0)=\backslash left((4-3)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}+0\{,\}5\backslash cdot\; 3^2-3\backslash cdot\; 3\backslash right)-4\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{0\}$

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash mathrm\{e\}^\{3\}+4\{,\}5-9-4=e^3-8\{,\}5$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{F}\mathrm{E}(\backslash mathrm\{e\}^\{3\}-8\{,\}5)\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.