A2

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_{k}$ mit
$f_{k}(x)=x^{4}+(2-k) \cdot x^{3}-k \cdot x^{2} \text { mit } k \in \mathbb{R}$ .
1. Begründen Sie, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist
  Es ist $f_2(x)=x^{4}+(2-2) \cdot x^{3}-2 \cdot x^{2}=x^4-2x^2$ .
  Der Funktionsterm von $f_{2}$ enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_{2}$ ist symmetrisch zur y-Achse
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  Notiere $f_{2} (x)$ und schau Dir die Exponenten an.
2. Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Berechnen Sie diesen Wert von $k$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Berechne diesen Wert von $k$
  Gegeben ist $f_{k}(x)=x^{4}+(2-k) \cdot x^{3}-k \cdot x^{2}$ .
  Berechne die 1. und 2. Ableitung:
  $f_{k}'(x)=4x^{3}+3\cdot (2-k) \cdot x^{2}-2k x$
  $f_{k}''(x)=12x^{2}+2\cdot 3\cdot (2-k) \cdot x-2k$
  Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Demnach muss $f_{k}''(1)=0$ sein.
  $\Rightarrow\;f_{k}''(1)=12+6\cdot (2-k) -2k=0\;\Rightarrow\;24-6k-2k=0\;\Rightarrow\;24-8k=0$
  $\Rightarrow\;k=3$
  Der Wert von $k$ ist gleich $3$ .
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  Berechne die 1. und 2. Ableitung von $f_{k} (x)$ .
  Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
  Demnach muss $f_{k}''(1)=0$ sein.
  Löse die Gleichung nach $k$ auf.
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Eine Funktionenschar $f_{k}$ ist gegeben durch die Gleichung
$f_{k}(x)=\frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}, k \neq 0$ .
1. Zeigen Sie rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$
  Gegeben ist $f_{k}(x)=\frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$ .
  Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:
  $f_{k}'(x)=\frac{1}{k}\left( 1 \cdot\mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}+x(-k^2)\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}\right)$
  $f_{k}'(x)=\frac{1}{k}\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}(1-k^2x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$
  Also ist $f_{k}'(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$ .
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  Berechne die 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel.
2. Im Folgenden können Sie verwenden: $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist
  Gegeben ist $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x=\dfrac{1}{k^2}$ ist $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=0$ .
  Es ist $f_{k}^{\prime}=(-kx+\frac{1}{k})\cdot\mathrm{e}^{-k^{2}\cdot x}$ (Aufgabe a).
  Setze $x=\dfrac{1}{k^2}$ ein: $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=\left(-k \cdot \frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot \frac{1}{k^{2}}}=\left(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-1}=0 \cdot \mathrm{e}^{-1}=0$ für alle $k \neq 0$ .
  Wegen $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0$ für alle $k \neq 0$ ist $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.
  Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen
  Für ein Minimum muss $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)>0$ sein.
  $\;\Rightarrow\;f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}>0 \Leftrightarrow k<0$ .
  Damit besitzen genau die $f_{k}$ mit $k < 0$ ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^{2}}$ .
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  Teil 1
  Weise nach: Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x=\dfrac{1}{k^2}$ ist $f_{k}^{\prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=0$ . Beachte $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0$ .
  Teil 2
  Es ist $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}$ .
  Für ein Minimum muss $f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)>0$ sein.
  Was folgt daraus für den Wert von $k$ ?
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f(x)=(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}, \quad x \in \mathbb{R}, \\& h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R} .\end{aligned}$
1. Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$ .
  $[$ Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x = 0$ und $x = 3$ . $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$
  $f(x)=h(x) \Leftrightarrow(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}=x-3 \Leftrightarrow(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \vee \mathrm{e}^{x}-1=0\Leftrightarrow x=3 \vee x=0$
  Die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden sich an den Stellen $x = 3$ und $x = 0$ .
  .
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  Löse die Gleichung $f (x) = h (x)$ .
2. Zwischen den Schnittstellen verläuft der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f$ .
  Die Funktion $D(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d (x) = h (x) - f (x)$ .
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird
  Für den Flächeninhalt gilt:
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=D(3)-D(0)=\left((4-3) \cdot \mathrm{e}^{3}+0{,}5\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-4 \cdot \mathrm{e}^{0}$
  $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{3}+4{,}5-9-4=e^3-8{,}5$
  Der Flächeninhalt beträgt $(\mathrm{e}^{3}-8{,}5)\;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne mit der Stammfunktion $D (x)$ das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} d(x) \;\mathrm{d} x$ .

Aufgabe 4

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{F}$ von $F$ .

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x$ . (2 P)

Bestimmen Sie grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ .
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$
Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
Die Ableitung von $F$ ist die Funktion $f$ .
Der Funktionswert $f (1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x = 1$ hat.
Mithilfe des Schaubilds gilt: $F'(1)=f(1)\approx\dfrac41=4$
Schaubild mit Steigungsdreieck
Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ beträgt ungefähr $4$ .
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Der Funktionswert $f (1)$ ist damit die Steigung, die $F$ an der Stelle $x = 1$ hat.
Zeichne ein Steigungsdreieck bei $x = 1$ ein und bestimme die Steigung.

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Pia hat eine Dartscheibe geschenkt bekommen. Sie trifft im Mittel zu etwa $80 %$ die Dartscheibe. Die Zufallsgröße X: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ wird im Folgenden als binomialverteilt mit $p = 0,8$ angenommen.
Pia wirft genau $100$ -mal auf die Dartscheibe.
1. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$
  Es ist $E(X)=n\cdot p= 100\cdot 0{,}8=80$ und $\sigma(X)=\sqrt{ 100\cdot 0{,}8\cdot (1-0{,}8)}=\sqrt{16}=4$
  Der Erwartungswert von $X$ beträgt $80$ und die Standardabweichung von $X$ beträgt $4$ .
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  Berechne $E(X)=n\cdot p$ und $\sigma(X)=\sqrt{ n\cdot p\cdot (1-p)}$ .
2. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen
  Die ersten $10$ Würfe sind Treffer: $0{,}8^{10}$
  Dann bleiben $90$ Würfe übrig, bei denen sie $70$ -mal treffen muss:
  Es ist $P(X=70)=\text{binomPdf}(90{,}0.8{,}70)=\binom{90}{70} \cdot 0{,}8^{70} \cdot 0{,}2^{20}$ .
  Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Term:
  $0{,}8^{10}\cdot \binom{90}{70} \cdot 0{,}8^{70} \cdot 0{,}2^{20}$
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  Die ersten $10$ Würfe sind Treffer: $0{,}8^{10}$
  Dann bleiben $90$ Würfe übrig, bei denen sie $70$ -mal treffen muss.
  Berechne $P_{90;0{,}8}(X=70)$ .
  Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Term.
3. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, und begründen Sie anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\;\%$ beträgt. (1 P + 1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft
  $P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-P(\text{keinmal die Dartscheibe treffen})$
  Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1 - 0,8 = 0,2$ und die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen beträgt dann $0{,}2^{100}$ .
  $P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-0{,}2^{100}$
  Der Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, lautet $1-0{,}2^{100}$ .
  Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\;\%$ beträgt
  $0{,}2^{100}$ ist eine „sehr kleine“ positive Zahl, die nahezu den Wert $0$ hat.
  Daher gilt: $1-0{,}2^{100} \approx 1=100\;\%$ .
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  Teil 1
  Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1 - 0,8 = 0,2$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen, beträgt dann $0{,}2^{100}.$
  $P(\text{mindest. eimal die D-Scheibe treffen})=1-P(\text{keinmal die D-Scheibe treffen})$
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Abbildung 2 zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A$ .
Abbildung 2
1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert aus dem Intervall $[6; 10]$ annimmt, beträgt etwa $68 %$ .
  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer ist als $10$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer ist als $10$
  Gegeben ist $P(6\leq X\leq 10)=0{,}68$ .
  Dann gilt $P(>10)=\frac{1}{2}(1-0{,}68)=0{,}16=16\; \%$ .
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  Berechne $P(>10)=\frac{1}{2}(1-0{,}68)$ .
2. Die Zufallsgröße $B$ ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von $B$ ist ebenso groß wie der Erwartungswert von $A$ , die Standardabweichung von $B$ ist größer als die Standardabweichung von $A$ .
  Skizzieren Sie in der Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Skizziere in der Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B$
  Bei größerer Standardabweichung von $B$ muss der Graph der Dichtefunktion breiter werden im Vergleich zu $A$ und gleichzeitig flacher werden im Vergleich zu $A$ .
  Abbildung 2
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  Bei größerer Standardabweichung von $B$ muss der Graph der Dichtefunktion breiter werden im Vergleich zu $A$ und gleichzeitig flacher werden im Vergleich zu $A$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \displaystyle\int_1^7f(x)\;dx$	$=$	$\displaystyle F\left(7\right)-F\left(1\right)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle 5-1$
	$=$	$\displaystyle 4$

A2

Aufgabe 1

Begründe, dass der Graph von f2f_{2}f2​ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

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Berechne diesen Wert von kkk

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Aufgabe 2

Zeige rechnerisch: fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}fk′​(x)=(−k⋅x+k1​)⋅e−k2⋅x

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Zeige, dass 1k2\frac{1}{k^{2}}k21​ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von kkk die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2\frac{1}{k^{2}}k21​ ein Minimum besitzen

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Aufgabe 3

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen fff und hhh

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Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen hhh und fff eingeschlossen wird

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Aufgabe 4

Bestimme den Wert des Integrals ∫17f(x) dx\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x∫17​f(x)dx

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Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von fff an der Stelle 111

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Aufgabe 5

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von XXX

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Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen

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Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 %100\;\%100% beträgt

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Aufgabe 6

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass AAA einen Wert annimmt, der größer ist als 101010

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Skizziere in der Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von BBB

Abbildung 2

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Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Berechne diesen Wert von $k$

Zeige rechnerisch: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}$

Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x$

Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\;\%$ beträgt

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer ist als $10$

Skizziere in der Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B$