B5 - lernen mit Serlo!

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist $f_{a} (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot a \cdot x^{2} + \frac{1}{2}} mit a \in ℝ$ .

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_{1}$ und $a_{2}$ :
I) $f_{a} (0) = 0$
II) $f_{a}^{'} (0) = f_{0}^{'} (0)$
III) $f_{a_{1}} (x) = f_{a_{2}} (x) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} \lor x = 0$
Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt
I) Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung.
II) Im Koordinatenursprung haben alle Graphen der Schar die gleiche Steigung.
III) Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.
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I) Was gilt für $x = 0$ ?
II) Was gilt für die Steigung an der Stelle $x = 0$ ?
III) Gibt es außer dem Koordinatenursprung noch einen weiteren Punkt, den ein Graph der Schar mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam hat?
Für alle $a \neq 0$ stimmen die Wendestellen von $f_{a}$ mit den Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^{2} - 3) \cdot x = 0$ überein.
Geben Sie für alle Werte von $a \in ℝ$ die Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ an und begründen Sie Ihre Angabe. (1 P + 4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Gib für alle Werte von $a \in ℝ$ die Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ an und begründe Deine Angabe
Für $a = 0$ gilt: Da der Graph von $f_{0}$ eine Gerade ist, hat $f_{0}$ keine Wendestellen.
Für $a \neq 0$ gilt: $(a \cdot x^{2} - 3) \cdot x = 0 \Rightarrow x = 0 \lor x^{2} = \frac{3}{a}$
Ist $a < 0$ , dann hat die Gleichung nur die Lösung $x = 0$ und $f_{a}$ hat nur eine Wendestelle.
Ist $a > 0$ , dann hat die Gleichung drei Lösungen und $f_{a}$ hat in diesem Fall drei Wendestellen.
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Für $a = 0$ betrachte die Lösung der Aufgabe 2.
Für $a \neq 0$ löse die Gleichung $(a \cdot x^{2} - 3) \cdot x = 0$ und unterscheide die Fälle $a < 0$ und $a > 0$ .
Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.
Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt
Nach Aufgabe 1 hat der Graph von $f_{1}$ (Abbildung 1) einen Hochpunkt $H P (1 | 1)$ und einen $T P (- 1 | - 1)$ (aufgrund der Symmetrie zum Ursprung).
Die Gerade muss also durch diese beiden Punkte verlaufen. Dies ist nur für die Gerade mit der Gleichung $y = x$ der Fall.
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Nach Aufgabe 1 hat der Graph von $f_{1}$ (Abbildung 1) einen Hochpunkt $H P (1 | 1)$ und einen $T P (- 1 | - 1)$ .
Welche Gerade verläuft durch diese beiden Punkte?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt

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Gib für alle Werte von a∈ℝ die Anzahl der Wendestellen von fa an und begründe Deine Angabe

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Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung y=x handelt

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Gib für alle Werte von $a \in ℝ$ die Anzahl der Wendestellen von $f_{a}$ an und begründe Deine Angabe

Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt