B5

Begründe, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist

Gegeben ist $f(x)=\frac{1}{20}{x}^4-\frac{2}{5}{x}^2+1$. Es treten nur gerade Exponenten auf. Der Graph von $f$ ist symmetrisch zur y-Achse.

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke

Höhe

Die Höhe der Brücke entspricht dem y-Achsenabschnitt von $f$.

$\Rightarrow f(0)=1$

Die Höhe der Brücke beträgt $1\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Länge

Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes:

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{4}{20}}{x}^3-{\displaystyle \frac{4}{5}}x={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x^2-4)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x^2-4)$

Es folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x=0\vee x=\pm 2$

An den Stellen $x=-2,x=0$ und $x=2$ liegen Extremstellen vor.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Berechne $f^{\prime \prime }(x)$:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

Setze die berechneten Extremstellen ein:

$f^{\prime \prime }(0)=-{\displaystyle \frac{4}{5}}<0\Rightarrow HP$

$f^{\prime \prime }(-2)={\displaystyle \frac{3}{5}}(-2{)}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}>0\Rightarrow TP$

$f^{\prime \prime }(2)={\displaystyle \frac{3}{5}}{2}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}>0\Rightarrow TP$

An den Stellen $x=-2$ bzw. $x=2$ liegen die Tiefpunkte des Graphen von $f$.

$\Rightarrow$Länge der Brücke entspricht dem Abstand der x-Koordinaten der beiden Tiefpunkte $l=2-(-2)=4$

Die Länge der Brücke beträgt $4\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Gib die Bedeutung des Terms $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an

Der Term $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ ist ein Differenzenquotient. Mit ihm wird die mittlere Steigung der oberen Randlinie im Intervall $[1;2]$ berechnet.

Bestimme seinen Wert

Es gilt:

$f(2)={\displaystyle \frac{1}{20}}{2}^4-{\displaystyle \frac{2}{5}}{2}^2+1={\displaystyle \frac{16}{20}}-{\displaystyle \frac{8}{5}}+1={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$ und

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{20}}{1}^4-{\displaystyle \frac{2}{5}}{1}^2+1={\displaystyle \frac{1}{20}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}+1={\displaystyle \frac{13}{20}}=\mathrm{0,65}$.

Berechne ${\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}-\mathrm{0,65}}{1}}=-\mathrm{0,45}$.

Der Wert des Terms beträgt $-\mathrm{0,45}$.

Bestimme die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist

Die 1. Ableitung muss maximal werden:

$f^{\prime }(x={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^3-{\displaystyle \frac{4}{5}}x$

Lasse Dir den Graphen von $f^{\prime }(x)$ anzeigen und bestimme das Maximum:

Man erhält $x_M\approx -\mathrm{1,1547...}$ und $y_M\approx \mathrm{0,61584...}\Rightarrow HP(-\mathrm{1,155}|\mathrm{0,616})$

Die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist, ist $f^{\prime }(\mathrm{1,155})\approx \mathrm{0,616}$.

Bestimme den Wert von $a$, für den $s=\mathrm{0,1}\mathrm{d}\mathrm{m}$ gilt

Wenn $s=\mathrm{0,1}$ ist, dann muss $x=-1+\mathrm{0,1}=-\mathrm{0,9}$ sein.

Berechne für $x=-\mathrm{0,9}$ die Nullstelle von $q_a(x)=\mathrm{0,8}-a\cdot x^2$.

$\Rightarrow 0=\mathrm{0,8}-a\cdot (-\mathrm{0,9}{)}^2\Rightarrow 0=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,81}\cdot a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,81}}}={\displaystyle \frac{80}{81}}\approx \mathrm{0,988}$

Somit ist für $a=\mathrm{0,988}$ die Länge $s=\mathrm{0,1}\mathrm{d}\mathrm{m}$ lang.

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen

Je größer $a$ wird, umso kleiner wird die Breite der Durchfahrt für die Züge (der Graph von $q_a$ wird schmaler).

Die Öffnungsbreite muss größer als die Breite des Zuges sein.

Bestimme die Nullstellen von $q_{\mathrm{1,25}}$

$q_{\mathrm{1,25}}(x)=\mathrm{0,8}-\mathrm{1,25}\cdot x^2$

Berechne die Nullstellen von $q_a$:

$0=\mathrm{0,8}-\mathrm{1,25}\cdot x^2\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{1,25}}}=\mathrm{0,64}\Rightarrow x=\pm \mathrm{0,8}$.

Die Nullstellen von $q_{\mathrm{1,25}}$ sind $x_1=-\mathrm{0,8}$ und $x_2=\mathrm{0,8}$.

Ermittle die Masse des mittleren Bauteils

Bekannt sind: Für die Brücke gilt $a=\mathrm{1,25}$. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm. Die Brücke ist $\mathrm{0,4}\mathrm{d}\mathrm{m}$ breit.

Berechne den Flächeninhalt des mittleren Bauteils. (Beachte, dass das Flächenstück symmetrisch zur y-Achse ist.):

$$A=2\cdot \left({\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{0,8}}^0{q}_{\mathrm{1,25}}(x)\mathrm{d}x}}\right)$$

Der Flächeninhalt des mittleren Bauteils beträgt $A=\mathrm{0,9}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$.

Da die Brücke $\mathrm{0,4}\mathrm{d}\mathrm{m}$ breit ist, berechnet man das Volumen mit:$V=A\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,36}$

Das Volumen beträgt $\mathrm{0,36}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$.

$1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm.

Die Masse des mittleren Bauteils ist dann $m=V\cdot 800=\mathrm{0,36}\cdot 800=288$.

Die Masse des mittleren Bauteils beträgt $m=288\mathrm{g}$.