Zeige, dass $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot (2x^2-k)f\text{'}(x)=2x\backslash cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $ff$ ist

Gegeben ist $f(x)=x^4-k\cdot x^{2}f(x)=x^4-k\backslash cdot\; x^2$.

Dann ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4\cdot x^3-2\cdot k\cdot x=2x\cdot (2x^2-k)f\text{'}(x)=4\backslash cdot\; x^3-2\backslash cdot\; k\; \backslash cdot\; x=2x\backslash cdot(2x^2-k)$.

Es ist also $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot (2x^2-k)f\text{'}(x)=2x\backslash cdot(2x^2-k)$.

Ermittele den Wert von $kk$

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot (2x^2-k)f\text{'}(x)=2x\backslash cdot(2x^2-k)$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=2x\cdot (2x^2-k)\backslash Rightarrow\backslash ;0=2x\backslash cdot(2x^2-k)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}x=0\backslash vee\; x=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{k\}\{2\}\}$

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $ff$ haben jeweils die y-Koordinate $-1-1$, d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.

Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}x=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{k\}\{2\}\}$.

Für $k>0k>0$ gilt: $f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)=-1\Rightarrow {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^4-k\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^2=-1f\backslash left(\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{k\}\{2\}\}\backslash right)=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash left(\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{k\}\{2\}\}\backslash right)^4-k\backslash cdot\; \backslash left(\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{k\}\{2\}\}\backslash right)^2=-1$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k^2}{4}}-{\displaystyle \frac{k^2}{2}}=-1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{k^2}{4}}=-1\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=2\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{k^2\}\{4\}-\backslash dfrac\{k^2\}\{2\}=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-\backslash dfrac\{k^2\}\{4\}=-1\backslash Rightarrow\backslash ;k^2=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; k=2$.

Der gesuchte Wert von $kk$ ist $k=2k=2$.