Weise nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$-Achse liegt

Tangentengleichungen

1. Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}|f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$.

Berechne $f_a\left(\frac{5}{a}\right)=-{\displaystyle \frac{a}{250}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^4+{\displaystyle \frac{1}{25}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Dann ist $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x+b$.

Setze den Punkt $({\displaystyle \frac{5}{a}}|{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$ ein:

${\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Die Tangentengleichung lautet: $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

2. Die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}|g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung ${\displaystyle \frac{5-3a^2}{5a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Berechne $g_a\left(\frac{5}{a}\right)=f_a\left(\frac{5}{a}\right)-{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}-{\displaystyle \frac{3}{a}}$.

Dann ist $t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x+b$.

Setze den Punkt $({\displaystyle \frac{5}{a}}|{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}-{\displaystyle \frac{3}{a}})$ ein:

${\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}-{\displaystyle \frac{3}{a}}=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot \left({\displaystyle \frac{5}{a}}\right)+b={\displaystyle \frac{5}{a^3}}-{\displaystyle \frac{3}{a}}+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$

Die Tangentengleichung lautet: $t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Schnittpunkt

Beide Tangentengleichungen haben den gleichen y-Achsenabschnitt, d.h. sie schneiden sich im Punkt $S_a(0|-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}})$.

$S_a$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse.

Untersuche, für welche Werte von $a\in ℝ$ mit $a>0$ das Dreieck $S_a{G}_a{F}_a$ rechtwinklig ist

Die Tangentengleichung lautet $t_{f_a}:y={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Steigung dieser Tangente ist ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}$und für $a>$0 ist die Steigung größer null.

Die Gerade mit der Gleichung $x=\frac{5}{a}$ steht senkrecht zur x-Achse. Deshalb kann sich im Punkt $F_a$ kein rechter Winkel befinden.

Der rechte Winkel kann nur im Punkt $G_a$ sein.

Die Tangentengleichung lautet: $t_{g_a}:y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot x-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{a^3}}$.

Die Steigung dieser Tangente ist ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Setze diese Steigung gleich null und löse nach $a$ auf:

${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}=0\Rightarrow a^2={\displaystyle \frac{5}{3}}\Rightarrow a_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$

Wegen $a>0$ erhält man die Lösung $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$.

Für diesen Wert von $a$ ist das Dreieck $S_a{G}_a{F}_a$ rechtwinklig.