Bestimme denjenigen Wert von $zz$, für den $AA$ und $BB$ den Abstand $55$ haben

Gegeben sind die Punkte $A(5\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }z)A(5|0|\; z)$ und $B(2\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }5)B(2|4|\; 5)$.

Dann gilt für ihren Abstand:

$d_{\overline{AB}}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }d\_\{\backslash overline\{AB\}\}=|\backslash overrightarrow\{AB\}|$

Dieser Abstand soll $55$ betragen$\Rightarrow d_{\overline{AB}}=\sqrt{(2-5{)}^2+(4-0{)}^2+(5-z{)}^2}=5\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;d\_\{\backslash overline\{AB\}\}=\backslash sqrt\{(2-5)^2+(4-0)^2+(5-z)^2\}=5$.

Die quadratische Gleichung hat die Lösung $z=5z=5$.

Für $z=5z=5$ haben $AA$ und $BB$ den Abstand $55$.

Ermittle denjenigen Wert von $zz$, für den das Dreieck $OABO\; A\; B$ im Punkt $BB$ rechtwinklig ist

Man erhält im Punkt $BB$ einen rechten Winkel, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{OB}=0\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash circ\; \backslash overrightarrow\{OB\}=0$ ist.

Es sind $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2-5\\ 4-0\\ 5-z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 5-z\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}2-5\backslash \backslash 4-0\backslash \backslash 5-z\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5-z\backslash end\{pmatrix\}$und $\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{OB\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{OB}=0\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 5-z\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)=-6+16+(5-z)\cdot 5=0\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{AB\}\backslash circ\; \backslash overrightarrow\{OB\}=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5-z\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}=-6+16+(5-z)\backslash cdot\; 5=0$

$\Rightarrow 10+25-5z=0\Rightarrow 35=5z\Rightarrow z=7\backslash Rightarrow\backslash ;10+25-5z=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;35=5z\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;z=7$

Für $z=7z=7$ ist das Dreieck $OABO\; A\; B$ im Punkt $BB$ rechtwinklig.