A1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-x$ .
1. Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
  Abbildung 1
  Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie ihre Angabe.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
  Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe
  Betrachte das Verhalten des Graphen von $f(x)=x^{3}-x$ für $x$ gegen unendlich.
  Es ist $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=\infty$ .
  Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=-\infty$ ).
  Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
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  Betrachte das Verhalten des Graphen von $f(x)=x^{3}-x$ für $x$ gegen unendlich.
  Ein Graph gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.
  $[$ Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden. $]$
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen
  Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $f$ sind $x = - 1$ bzw. $x = 1$ .
  Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
  $A=2 \cdot \displaystyle\int_{-1}^0f(x)\;\mathrm{d}x=2\cdot\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0=2\cdot\left(0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$
  Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt $\dfrac{1}{2 }\;\mathrm{FE}$ .
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  Lies die Nullstellen des Graphen von $f$ ab und berücksichtige bei der Flächenberechnung die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
1. Die Funktion $f$ besitzt genau eine Extremstelle.
  Ermitteln Sie die Extremstelle von $f$ .
  $[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Ermittle die Extremstelle von $f$
  Gegeben ist $f(x)=(x+2) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f'(x)=1\cdot e^{-x+4}+(x+2)\cdot e^{-x+4}\cdot (-1)=-(x+1)\cdot e^{-x+4}$
  $f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-(x+1)\cdot e^{-x+4}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x+4}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $x+1=0\;\Rightarrow\;x=-1$
  Die Funktion $f$ hat für $x = - 1$ genau eine lokale Extremstelle.
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ .
  $[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$
  Abbildung 2
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  An der Extremstelle von $f$ ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Beim Wendepunkt von $f$ hat der Graph von $f^{'}$ einen Tiefpunkt.

Aufgabe 3

Für jedes $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung $f_{a}(x)=(x+2)(2 x+a) \cdot\mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.

Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}$ an
Gegeben ist $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow\;x+2=0\;\Rightarrow\;x=-2\vee 2x+1=0\;\Rightarrow\;x=-\dfrac{1}{2}$
Demnach sind $x = - 2$ und $x=-\dfrac{1}{2}$ die beiden Nullstellen.
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Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Benutze dabei den Satz vom Nullprodukt.
In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für ein konkretes $a$ abgebildet.
Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ . (2 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0}(x)=(x+2)(2x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Der Graph von $f_{0}$ hat die beiden Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ .
(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)
Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.
In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}$ abgebildet.
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Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0}(x)=(x+2)(2x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Welche Nullstellen hat der Graph von $f_{0}$ ?
Vergleiche mit Abbildung 3.

Ermitteln Sie, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (2 P)

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung
$\displaystyle g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
  (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft
  Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ .
  Dann folgt für die Gerade $h_{AB}$ :
  $h_{AB}:\vec x=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}8\\-11\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}\right)$
  $\Rightarrow\;h_{AB}:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$
  Die Gleichung der Geraden $h$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, lautet
  $h_{AB}:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$ .
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  Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ .
  Dann folgt für die Gerade $h_{AB}$ : $h_{AB}:\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$ .
2. Weisen Sie nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt.
  Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt
  Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ .
  Prüfe, ob $A\in g$ :
  $\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3{,}5\\10{,}5\\-7\end{pmatrix}=r \cdot\begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$
  Für $r=\dfrac{1}{2}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
  $\Rightarrow\;$ Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
  Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander
  Gegeben sind $g: \vec x= \begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ und $h: \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$ .
  Untersuche die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit, d.h. ist der Richtungsvektor $\vec u=\begin{pmatrix}5 \\-15 \\10\end{pmatrix}$ der Geraden $h$ ein Vielfaches des Richtungsvektors $\vec v=\begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ der Geraden $g$ :
  $\begin{pmatrix}5 \\-15 \\10\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;$ Für $t=-\dfrac{5}{7}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
  Die Geraden sind parallel zueinander und da der Punkt $A\in g$ und $A \in h$ ist, sind die beiden Geraden identisch.
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  Teil 1
  Prüfe, ob $A\in g$ .
  Hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, dann liegt der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ .
  Teil 2
  Untersuche die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf lineare Abhängigkeit.
  Wird die lineare Abhängigkeit festgestellt, prüfe, ob die Geraden identisch sind.
3. Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
  (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet
  Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
  Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
  $j: \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
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  Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
  Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Punkte $A (5 ∣ 0 ∣ z)$ und $B (2 ∣ 4 ∣ 5)$ .

Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben. (3 P)

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist
Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{OB}=0$ ist.
Es sind $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-5\\4-0\\5-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\5-z\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}$ .
$\Rightarrow\;\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{OB}=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\4\\5-z\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=-6+16+(5-z)\cdot 5=0$
$\Rightarrow\;10+25-5z=0\;\Rightarrow\;35=5z\;\Rightarrow\;z=7$
Für $z = 7$ ist das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig.
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Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{OB}=0$ ist.
Berechne das Skalarprodukt und löse nach $z$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 40 \mathrm{e}^{3}$	$=$	$\displaystyle (3+2)(2 \cdot 3+a)\cdot \mathrm{e}^{3}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 40 \mathrm{e}^{3}$	$=$	$\displaystyle 5\cdot(6+a)\cdot \mathrm{e}^{3}$	$\displaystyle :\mathrm{e}^{3}$
$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 30+5a$	$\displaystyle -30$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 5a$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle \sqrt{(2-5)^2+(4-0)^2+(5-z)^2}$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel.
$\displaystyle (2-5)^2+(4-0)^2+(5-z)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 9+16+25-10z+z^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -25$
$\displaystyle z^2-10z+25$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$\displaystyle (z-5)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

A1

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen

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Aufgabe 2

Ermittle die Extremstelle von $f$

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Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$

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Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}$ an

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Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

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Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt

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Aufgabe 4

Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft

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Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander

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Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet

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Aufgabe 5

Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben

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Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist

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A1

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von fff und die xxx-Achse einschließen

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Aufgabe 2

Ermittle die Extremstelle von fff

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Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von fff

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Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion f1f_{1}f1​ mit f1(x)=(x+2)(2x+1)⋅exf_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}f1​(x)=(x+2)(2x+1)⋅ex an

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Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: a=0a=0a=0

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Ermittle, für welchen Wert von aaa der Punkt P(3∣40e3)P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)P(3∣40e3) auf dem Graphen der Funktion faf_{a}fa​ liegt

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Aufgabe 4

Gib eine Gleichung der Geraden hhh an, die durch die Punkte AAA und BBB verläuft

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Weise nach, dass der Punkt AAA auf der Geraden ggg liegt

Untersuche die Lage der Geraden ggg und hhh zueinander

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Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade ggg im Punkt AAA schneidet

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Aufgabe 5

Bestimme denjenigen Wert von zzz, für den AAA und BBB den Abstand 555 haben

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Ermittle denjenigen Wert von zzz, für den das Dreieck OABO A BOAB im Punkt BBB rechtwinklig ist

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen

Ermittle die Extremstelle von $f$

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}$ an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt

Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft

Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet

Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben

Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist