Die fehlende Länge berechnet sich:

$310-220=90310-220=90$

Das Stück ist $90\text{ cm}90\backslash cm$ lang.

Das Dach bildet ein rechtwinkliges Dreieck.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$

Die Seite $xx$ bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Einsetzen der bekannten Werte.

$x^2={90}^2+{430}^2{x}^2=8100+184900x^2=193000x=\sqrt{193000}x\approx \mathrm{439,32}x^2=90^2+430^2\; \backslash \backslash \; x^2=8\backslash ,100+184\backslash ,900\; \backslash \backslash \; x^2=193\backslash ,000\; \backslash \backslash \; x=\backslash sqrt\{193\backslash ,000\}\; x\backslash approx\; 439\{,\}32$

Der Dachbalken ist $\mathrm{439,32}\text{ cm}439\{,\}32\backslash cm$ lang.

Sowohl Gegenkathete als auch Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt.

Damit kann $\sin \alpha \backslash sin\{\backslash alpha\}$ berechnet werden.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\{\backslash alpha\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{439,32}}}\approx \mathrm{0,205}\backslash sin\{\backslash alpha\}=\backslash dfrac\{90\}\{439\{,\}32\}\backslash approx\; 0\{,\}205$

$\alpha ={\mathrm{11,82}}^{\circ }\backslash alpha\; =\; 11\{,\}82^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat ${\mathrm{11,82}}^{\circ }11\{,\}82^\backslash circ$.

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer ${180}^{\circ }\mathrm{.}180^\backslash circ.$

$180=90+53+\mathrm{11,82}+\beta 180-90-53-\mathrm{11,82}=\beta \mathrm{25,18}=\beta 180=90+53+11\{,\}82+\backslash beta\; \backslash \backslash \; 180-90-53-11\{,\}82=\backslash beta\; \backslash \backslash \; 25\{,\}18=\backslash beta$

Der Winkel $\beta \backslash beta$ hat ${\mathrm{25,18}}^{\circ }25\{,\}18^\backslash circ$.

Die Solaranlage bildet mit dem Dach ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Winkel und die Länge einer Kathete bekannt sind.

Die Länge $ss$ der Solaranlage bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Es gilt:

$\cos (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash cos\backslash left(\backslash alpha+\backslash beta\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash text\{Ankathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

Werte einsetzen

$\cos ({\mathrm{11,82}}^{\circ }+{\mathrm{25,18}}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(11\{,\}82^\{\backslash circ\}\; +\; 25\{,\}18^\{\backslash circ\}\; \backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$\cos \left({37}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(37^\backslash circ\backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({37}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{538,42}s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos\backslash left(37^\backslash circ\backslash right)\}\backslash approx\; 538\{,\}42$

Die Länge $ss$ der Solaranlage beträgt $\mathrm{538,42}\text{ cm}538\{,\}42\backslash cm$.

Länge $ss$ der Solaranlage bei Halbierung des Winkels $(\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{37}{2}}=\mathrm{18,5}\backslash left(\backslash alpha\; +\; \backslash beta\backslash right)=\backslash dfrac\{37\}\{2\}=18\{,\}5$

$\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(18\{,\}5^\backslash circ\backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{453,43}s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos\backslash left(18\{,\}5^\backslash circ\backslash right)\}\; \backslash approx\; 453\{,\}43$

$\mathrm{453,43}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{\mathrm{561,79}}{2}}=\mathrm{280,895}453\{,\}43\; \backslash ne\; \backslash dfrac\{561\{,\}79\}\{2\}=280\{,\}895$

Hannas Behauptung ist falsch.