Wahlteil

Die Schokoladenplatte bildet einen Kreis mit Radius $r$.

Radius der Schokoladenplatte

$r={\displaystyle \frac{\text{Durchmesser der Praline}}{2}}-\text{Rand}$

$r={\displaystyle \frac{30}{2}}-2=13$

Flächeninhalt der Schokoladenplatte

$A_{\text{Schokoladenplatte}}=r^2\cdot \pi$

$A_{\text{Schokoladenplatte}}={13}^2\cdot \pi \approx \mathrm{530,93}$

Der Flächeninhalt der Schokoladenplatte beträgt $\mathrm{530,93}{\text{ mm}}^2$.

Volumen einer Kugel

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3$

Volumen der Nuss

$V_{\text{Nuss}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 3^3\approx \mathrm{113,1}$

Die Nuss hat ein Volumen von $\mathrm{113,10}{\text{ mm}}^3$.

Die Schokoladenfüllung bildet eine Halbkugel. Davon muss noch das Volumen der Nuss abgezogen werden.

Volumen einer Kugel

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3$

Volumen der Schokoladenfüllung incl. Nuss

$V_{\text{Schoko incl. Nuss}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {13}^3}{2}}\approx 4\mathrm{601,39}$

Volumen der Schokoladenfüllung ohne Nuss

$V_{\text{Schoko ohne Nuss}}=V_{\text{Schoko incl. Nuss}}-V_{\text{Nuss}}$

$V_{\text{Schoko ohne Nuss}}=4\mathrm{601,39}-\mathrm{113,1}=4\mathrm{488,29}$

Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt $4\mathrm{488,29}{\text{ mm}}^3$.

Eine Prozentangabe beschreibt immer den Teil eines Ganzen.

$10\%$ der kleinen Nuss ist absolut betrachtet weniger als $10\%$ der größeren Schokoladenfüllung.

$10\%$ des Nussvolumens sind $\mathrm{113,1}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{11,31}{\text{ mm}}^3$

$10\%$ der Schokoladenfüllung sind $4\mathrm{488,29}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{448,829}$

$\mathrm{11,31}<\mathrm{448,829}$

Bei einer $10\%$-gen Erhöhung des Nussvolumens verringert sich das Volumen der Schokoladenfüllung um deutlich weniger als $10\%$.

Timos Behauptung ist also falsch.

Der Bagger vergrößert die Fläche des Teichs täglich um $20{\text{ m}}^2$. In der Tabelle werden die Werte für die Fläche des Teichs deshalb täglich um $20$ größer.

Zu Beginn ist der Teich $80{\text{ m}}^2$ groß, deshalb schneidet der Graph die y-Achse bei $80$.

Nach $6$ Tagen ist der Teich $200{\text{ m}}^2$ groß. Der Punkt $\left(6|200\right)$ liegt damit auf dem Graphen.

Da der Teich täglich um die gleiche Fläche größer wird, liegt eine lineare Funktion vor.

Der Graph wird gezeichnet, indem die Punkte $\left(0|80\right)$ und $\left(6|200\right)$ durch eine Gerade verbunden werden.

Um die mit Algen bedeckte Fläche eines Folgetags zu berechnen, wird auf die Fläche des aktuellen Tags $45\%$ der Fläche addiert.

Von Algen bedeckte Fläche am dritten Tag

$A_{\text{Fläche 3. Tag}}+A_{\text{Fläche 3. Tag}}\cdot \mathrm{0,45}=A_{\text{Fläche 3. Tag}}\cdot \mathrm{1,45}\approx \mathrm{30,5}$

Am dritten Tag sind $\mathrm{30,5}{\text{ m}}^2$ mit Algen bedeckt.

Trage die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte.

Beachte dabei: Die Fläche vergrößert sich täglich um einen festen Prozentsatz im Vergleich zum Vortag, d.h. der Graph ist nicht linear.

Nach etwa $\mathrm{2,5}$ Tagen ist die mit Algen bedeckte Fläche $25{\text{ m}}^2$ groß.

Nach $\mathrm{5,5}$ Tagen ist die mit Algen bedeckte Fläche etwa $\mathrm{77,5}{\text{ m}}^2$ groß.

Der dargestellte Zusammenhang ist nicht proportional.

An jedem Tag vergrößert sich die mit Algen bedeckte Fläche um ein größeres Stück als am Vortag.

Hadis Behauptung stimmt nicht.

Erklärung zu ${\displaystyle \frac{20}{100}}$: Von den insgesamt $100$ Songs sind $20$ Hip-Hop-Songs.

Erklärung zu ${\displaystyle \frac{49}{99}}$: Ein Pop Song wurde bereits gespielt. Es bleiben also nur noch $99$ Songs zur Auswahl. Davon sind 49 Pop-Songs.

Insgesamt sind $100$ Songs gespeichert, davon sind $50$ Pop-Songs und $30$ Rock-Songs.

$(50+30=80)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes ein Pop-Song oder ein Rock-Song abgespielt wird, beträgt also ${\displaystyle \frac{80}{100}}$.

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades miteinander multipliziert.

$P\left(\text{2 Pop-Songs}\right)={\displaystyle \frac{50}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{49}{99}}={\displaystyle \frac{2450}{9900}}$

Anzahl verbleibender Songs: $100-(12+5+3)=80$

Anzahl verbleibender Hip-Hop-Songs: $(20-3)=17$

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Nächstes ein Hip-Hop-Song gespielt wird, beträgt dann: ${\displaystyle \frac{17}{80}}$.

Anzahl Songs insgesamt : $100+10=110$

Anzahl Pop-Songs: $50$

Wahrscheinlichkeit, dass ein Pop-Song abgespielt wird: ${\displaystyle \frac{50}{110}}$

Vorher war die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pop-Song abgespielt wird: ${\displaystyle \frac{50}{100}}$

Larissas Behauptung stimmt nicht.

Die fehlende Länge berechnet sich:

$310-220=90$

Das Stück ist $90\text{ cm}$ lang.

Das Dach bildet ein rechtwinkliges Dreieck.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$c^2=a^2+b^2$

Die Seite $x$ bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Einsetzen der bekannten Werte.

$\begin{array}{l}{x}^2={90}^2+{430}^2\\ x^2=8100+184900\\ x^2=193000\\ x=\sqrt{193000}x\approx \mathrm{439,32}\end{array}$

Der Dachbalken ist $\mathrm{439,32}\text{ cm}$ lang.

Sowohl Gegenkathete als auch Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt.

Damit kann $\sin \alpha$ berechnet werden.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{439,32}}}\approx \mathrm{0,205}$

$\alpha ={\mathrm{11,82}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ hat ${\mathrm{11,82}}^{\circ }$.

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer ${180}^{\circ }.$

$\begin{array}{l}180=90+53+\mathrm{11,82}+\beta \\ 180-90-53-\mathrm{11,82}=\beta \\ \mathrm{25,18}=\beta \end{array}$

Der Winkel $\beta$ hat ${\mathrm{25,18}}^{\circ }$.

Die Solaranlage bildet mit dem Dach ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Winkel und die Länge einer Kathete bekannt sind.

Die Länge $s$ der Solaranlage bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Es gilt:

$\cos (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

Werte einsetzen

$\cos ({\mathrm{11,82}}^{\circ }+{\mathrm{25,18}}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{s}}$

$\cos \left({37}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({37}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{538,42}$

Die Länge $s$ der Solaranlage beträgt $\mathrm{538,42}\text{ cm}$.

Länge $s$ der Solaranlage bei Halbierung des Winkels $(\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{37}{2}}=\mathrm{18,5}$

$\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{453,43}$

$\mathrm{453,43}\ne {\displaystyle \frac{\mathrm{561,79}}{2}}=\mathrm{280,895}$

Hannas Behauptung ist falsch.