Wahlteil

Die Schokoladenplatte bildet einen Kreis mit Radius $rr$.

Radius der Schokoladenplatte

$r={\displaystyle \frac{\text{Durchmesser der Praline}}{2}}-\text{Rand}r=\backslash dfrac\{\backslash text\{Durchmesser\; der\; Praline\}\}\{2\}-\backslash text\{Rand\}$

$r={\displaystyle \frac{30}{2}}-2=13r=\backslash dfrac\{30\}\{2\}-2=13$

Flächeninhalt der Schokoladenplatte

$A_{\text{Schokoladenplatte}}=r^2\cdot \pi A\_\backslash text\{Schokoladenplatte\}=r^2\; \backslash cdot\; \backslash pi$

$A_{\text{Schokoladenplatte}}={13}^2\cdot \pi \approx \mathrm{530,93}A\_\backslash text\{Schokoladenplatte\}=13^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash approx\; 530\{,\}93$

Der Flächeninhalt der Schokoladenplatte beträgt $\mathrm{530,93}{\text{ mm}}^{2}530\{,\}93\backslash mm^2$.

Volumen einer Kugel

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}V\_\backslash text\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r^3$

Volumen der Nuss

$V_{\text{Nuss}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 3^3\approx \mathrm{113,1}V\_\backslash text\{Nuss\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 3^3\; \backslash approx\; 113\{,\}1$

Die Nuss hat ein Volumen von $\mathrm{113,10}{\text{ mm}}^{3}113\{,\}10\backslash mm^3$.

Die Schokoladenfüllung bildet eine Halbkugel. Davon muss noch das Volumen der Nuss abgezogen werden.

Volumen einer Kugel

$V_{\text{Kugel}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}V\_\backslash text\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r^3$

Volumen der Schokoladenfüllung incl. Nuss

$V_{\text{Schoko incl. Nuss}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {13}^3}{2}}\approx 4\mathrm{601,39}V\_\backslash text\{Schoko\; incl.\; Nuss\}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 13^3\}\{2\}\; \backslash approx\; 4\backslash ,601\{,\}39$

Volumen der Schokoladenfüllung ohne Nuss

$V_{\text{Schoko ohne Nuss}}=V_{\text{Schoko incl. Nuss}}-V_{\text{Nuss}}V\_\backslash text\{Schoko\; ohne\; Nuss\}=V\_\backslash text\{Schoko\; incl.\; Nuss\}-V\_\backslash text\{Nuss\}$

$V_{\text{Schoko ohne Nuss}}=4\mathrm{601,39}-\mathrm{113,1}=4\mathrm{488,29}V\_\backslash text\{Schoko\; ohne\; Nuss\}=4\backslash ,601\{,\}39-113\{,\}1=4\backslash ,488\{,\}29$

Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt $4\mathrm{488,29}{\text{ mm}}^{3}4\backslash ,488\{,\}29\backslash mm^3$.

Eine Prozentangabe beschreibt immer den Teil eines Ganzen.

$10\mathrm{\%}10\backslash \%$ der kleinen Nuss ist absolut betrachtet weniger als $10\mathrm{\%}10\backslash \%$ der größeren Schokoladenfüllung.

$10\mathrm{\%}10\backslash \%$ des Nussvolumens sind $\mathrm{113,1}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{11,31}{\text{ mm}}^{3}113\{,\}1\; \backslash cdot\; 0\{,\}1=11\{,\}31\backslash mm^3$

$10\mathrm{\%}10\backslash \%$ der Schokoladenfüllung sind $4\mathrm{488,29}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{448,829}4\backslash ,488\{,\}29\; \backslash cdot\; 0\{,\}1=448\{,\}829$

Bei einer $10\mathrm{\%}10\backslash \%$-gen Erhöhung des Nussvolumens verringert sich das Volumen der Schokoladenfüllung um deutlich weniger als $10\mathrm{\%}10\backslash \%$.

Timos Behauptung ist also falsch.

Der Bagger vergrößert die Fläche des Teichs täglich um $20{\text{ m}}^{2}20\backslash m^2$. In der Tabelle werden die Werte für die Fläche des Teichs deshalb täglich um $2020$ größer.

Zu Beginn ist der Teich $80{\text{ m}}^{2}80\backslash m^2$ groß, deshalb schneidet der Graph die y-Achse bei $8080$.

Nach $66$ Tagen ist der Teich $200{\text{ m}}^{2}200\backslash m^2$ groß. Der Punkt $\left(6\mathrm{\mid }200\right)\backslash left(6|200\backslash right)$ liegt damit auf dem Graphen.

Da der Teich täglich um die gleiche Fläche größer wird, liegt eine lineare Funktion vor.

Der Graph wird gezeichnet, indem die Punkte $\left(0\mathrm{\mid }80\right)\backslash left(0|80\backslash right)$ und $\left(6\mathrm{\mid }200\right)\backslash left(6|200\backslash right)$ durch eine Gerade verbunden werden.

Um die mit Algen bedeckte Fläche eines Folgetags zu berechnen, wird auf die Fläche des aktuellen Tags $45\mathrm{\%}45\backslash \%$ der Fläche addiert.

Von Algen bedeckte Fläche am dritten Tag

$A_{\text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{che 3. Tag}}+A_{\text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{che 3. Tag}}\cdot \mathrm{0,45}=A_{\text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{che 3. Tag}}\cdot \mathrm{1,45}\approx \mathrm{30,5}A\_\backslash text\{Fläche\; 3.\; Tag\}+A\_\backslash text\{Fläche\; 3.\; Tag\}\backslash cdot\; 0\{,\}45\; =A\_\backslash text\{Fläche\; 3.\; Tag\}\; \backslash cdot\; 1\{,\}45\backslash approx\; 30\{,\}5$

Am dritten Tag sind $\mathrm{30,5}{\text{ m}}^{2}30\{,\}5\backslash m^2$ mit Algen bedeckt.

Trage die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte.

Beachte dabei: Die Fläche vergrößert sich täglich um einen festen Prozentsatz im Vergleich zum Vortag, d.h. der Graph ist nicht linear.

Nach etwa $\mathrm{2,5}2\{,\}5$ Tagen ist die mit Algen bedeckte Fläche $25{\text{ m}}^{2}25\backslash m^2$ groß.

Nach $\mathrm{5,5}5\{,\}5$ Tagen ist die mit Algen bedeckte Fläche etwa $\mathrm{77,5}{\text{ m}}^{2}77\{,\}5\backslash m^2$ groß.

Der dargestellte Zusammenhang ist nicht proportional.

An jedem Tag vergrößert sich die mit Algen bedeckte Fläche um ein größeres Stück als am Vortag.

Hadis Behauptung stimmt nicht.

Erklärung zu ${\displaystyle \frac{20}{100}}\backslash dfrac\{20\}\{100\}$: Von den insgesamt $100100$ Songs sind $2020$ Hip-Hop-Songs.

Erklärung zu ${\displaystyle \frac{49}{99}}\backslash dfrac\{49\}\{99\}$: Ein Pop Song wurde bereits gespielt. Es bleiben also nur noch $9999$ Songs zur Auswahl. Davon sind 49 Pop-Songs.

Insgesamt sind $100100$ Songs gespeichert, davon sind $5050$ Pop-Songs und $3030$ Rock-Songs.

$(50+30=80)(50+30=80)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes ein Pop-Song oder ein Rock-Song abgespielt wird, beträgt also ${\displaystyle \frac{80}{100}}\backslash dfrac\{80\}\{100\}$.

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades miteinander multipliziert.

$P\left(\text{2 Pop-Songs}\right)={\displaystyle \frac{50}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{49}{99}}={\displaystyle \frac{2450}{9900}}P\backslash left(\backslash text\{2\; Pop-Songs\}\backslash right)=\backslash dfrac\{50\}\{100\}\backslash cdot\backslash dfrac\{49\}\{99\}=\backslash dfrac\{2\backslash ,450\}\{9\backslash ,900\}$

Anzahl verbleibender Songs: $100-(12+5+3)=80100-\backslash left(12+5+3\backslash right)=80$

Anzahl verbleibender Hip-Hop-Songs: $(20-3)=17\backslash left(20-3\backslash right)=17$

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Nächstes ein Hip-Hop-Song gespielt wird, beträgt dann: ${\displaystyle \frac{17}{80}}\backslash dfrac\{17\}\{80\}$.

Anzahl Songs insgesamt : $100+10=110100+10=110$

Anzahl Pop-Songs: $5050$

Wahrscheinlichkeit, dass ein Pop-Song abgespielt wird: ${\displaystyle \frac{50}{110}}\backslash dfrac\{50\}\{110\}$

Vorher war die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pop-Song abgespielt wird: ${\displaystyle \frac{50}{100}}\backslash dfrac\{50\}\{100\}$

Larissas Behauptung stimmt nicht.

Die fehlende Länge berechnet sich:

$310-220=90310-220=90$

Das Stück ist $90\text{ cm}90\backslash cm$ lang.

Das Dach bildet ein rechtwinkliges Dreieck.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$

Die Seite $xx$ bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Einsetzen der bekannten Werte.

$x^2={90}^2+{430}^2{x}^2=8100+184900x^2=193000x=\sqrt{193000}x\approx \mathrm{439,32}x^2=90^2+430^2\; \backslash \backslash \; x^2=8\backslash ,100+184\backslash ,900\; \backslash \backslash \; x^2=193\backslash ,000\; \backslash \backslash \; x=\backslash sqrt\{193\backslash ,000\}\; x\backslash approx\; 439\{,\}32$

Der Dachbalken ist $\mathrm{439,32}\text{ cm}439\{,\}32\backslash cm$ lang.

Sowohl Gegenkathete als auch Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks sind bekannt.

Damit kann $\sin \alpha \backslash sin\{\backslash alpha\}$ berechnet werden.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\{\backslash alpha\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{439,32}}}\approx \mathrm{0,205}\backslash sin\{\backslash alpha\}=\backslash dfrac\{90\}\{439\{,\}32\}\backslash approx\; 0\{,\}205$

$\alpha ={\mathrm{11,82}}^{\circ }\backslash alpha\; =\; 11\{,\}82^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat ${\mathrm{11,82}}^{\circ }11\{,\}82^\backslash circ$.

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer ${180}^{\circ }\mathrm{.}180^\backslash circ.$

$180=90+53+\mathrm{11,82}+\beta 180-90-53-\mathrm{11,82}=\beta \mathrm{25,18}=\beta 180=90+53+11\{,\}82+\backslash beta\; \backslash \backslash \; 180-90-53-11\{,\}82=\backslash beta\; \backslash \backslash \; 25\{,\}18=\backslash beta$

Der Winkel $\beta \backslash beta$ hat ${\mathrm{25,18}}^{\circ }25\{,\}18^\backslash circ$.

Die Solaranlage bildet mit dem Dach ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Winkel und die Länge einer Kathete bekannt sind.

Die Länge $ss$ der Solaranlage bildet die Hypotenuse des Dreiecks.

Es gilt:

$\cos (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash cos\backslash left(\backslash alpha+\backslash beta\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash text\{Ankathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

Werte einsetzen

$\cos ({\mathrm{11,82}}^{\circ }+{\mathrm{25,18}}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(11\{,\}82^\{\backslash circ\}\; +\; 25\{,\}18^\{\backslash circ\}\; \backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$\cos \left({37}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(37^\backslash circ\backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({37}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{538,42}s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos\backslash left(37^\backslash circ\backslash right)\}\backslash approx\; 538\{,\}42$

Die Länge $ss$ der Solaranlage beträgt $\mathrm{538,42}\text{ cm}538\{,\}42\backslash cm$.

Länge $ss$ der Solaranlage bei Halbierung des Winkels $(\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{37}{2}}=\mathrm{18,5}\backslash left(\backslash alpha\; +\; \backslash beta\backslash right)=\backslash dfrac\{37\}\{2\}=18\{,\}5$

$\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)={\displaystyle \frac{430}{s}}\backslash cos\backslash left(18\{,\}5^\backslash circ\backslash right)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}$

$s={\displaystyle \frac{430}{\cos \left({\mathrm{18,5}}^{\circ }\right)}}\approx \mathrm{453,43}s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos\backslash left(18\{,\}5^\backslash circ\backslash right)\}\; \backslash approx\; 453\{,\}43$

$\mathrm{453,43}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{\mathrm{561,79}}{2}}=\mathrm{280,895}453\{,\}43\; \backslash ne\; \backslash dfrac\{561\{,\}79\}\{2\}=280\{,\}895$

Hannas Behauptung ist falsch.