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Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .

Die 1. Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}, x \in \mathbb{R}$ , und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$ .

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
$W\in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
Gegeben sind: $W(3 \mid f(3)), f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x},t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ ,
und nach Aufgabe 1 auch $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Überprüfung der 1. Bedingung:
Es ist $f(3)=10 \cdot(3-1) \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}$ und $t(3)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot 3+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}\;\Rightarrow\;f(3)=t(3)\;\checkmark$ .
Überprüfung der 2. Bedingung:
Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t'(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}$
Dann ist $f'(3)=10\cdot(2-3)\cdot \mathrm{e}^{-3}=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}=t'(3)\;\checkmark$ .
Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W(3 \mid f(3))$ .
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Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
$W\in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
Überprüfe die beiden Bedingungen.
Die Schnittpunkte der in Aufgabe 3 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck fest.
Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Berechne den Umfang dieses Dreiecks
Skizze des Dreiecks.
Es ist $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ .
Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t(0)\;\Rightarrow\;t(0)=50 \cdot \mathrm{e}^{-3}\approx2{,}4894$ .
Dann ist $S_y(0|50 \cdot \mathrm{e}^{-3})$ , gerundet $S_y(0|2{,}4894)$ .
Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
$0=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=10\cdot\mathrm{e}^{-3}(-x+5)\;\Rightarrow\;x=5$
Dann ist $S_{x} (5 ∣ 0)$ .
Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
$d=\sqrt{(5-0)^2+(0-50 \cdot \mathrm{e}^{-3})^2}=\sqrt{25+2500\cdot\mathrm{e}^{-6}}\approx5{,}5854$
Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5{,}5854 \;\mathrm{LE}$ .
Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks.
$U=\overline {OS_x}+\overline {OS_y}+ d=5+2{,}4894+5{,}5854\approx 13{,}075$
Der Umfang dieses Dreiecks beträgt rund $13{,}075\;\mathrm{LE}$ .
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Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\;\Rightarrow\;S_y(x_1|y_1)$ .
Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\;\Rightarrow\;S_x(x_2|y_2)$ .
Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks $U = y_{1} + y_{2} + d$ .
Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 3 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ . (3 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme den Flächeninhalt von $F$
Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W(3 \mid f(3))$ .
Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
Dann gilt: $A_1=\displaystyle\int_1^3f(x)\;\mathrm{d}x$ und $A_2=\displaystyle\int_3^5t(x)\;\mathrm{d}x$ .
Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
Der Flächeninhalt von $F$ beträgt rund $3{,}18\;\mathrm{FE}$ .
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Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
Runde auf vier Nachkommastellen.

Aufgabe 3

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von ttt die Tangente an den Graphen von fff im Punkt WWW ist

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Berechne den Umfang dieses Dreiecks

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Bestimme den Flächeninhalt von FFF

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Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$