Zeige, dass $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist

Gegeben ist $f(x)=x^4-k\cdot x^2$.

Dann ist $f^{\prime }(x)=4\cdot x^3-2\cdot k\cdot x=2x\cdot (2x^2-k)$.

Es ist also $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$.

Ermittele den Wert von $k$

Es ist $f^{\prime }(x)=2x\cdot (2x^2-k)$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{\prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=2x\cdot (2x^2-k)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}$

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $-1$, d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.

Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}$.

Für $k>0$ gilt: $f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)=-1\Rightarrow {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^4-k\cdot {\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{2}}}\right)}^2=-1$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k^2}{4}}-{\displaystyle \frac{k^2}{2}}=-1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{k^2}{4}}=-1\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=2$.

Der gesuchte Wert von $k$ ist $k=2$.