Berechne den Durchmesser $d_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss

Der Durchmesser $d_0$ ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes.

Gegeben ist $f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$, beachte dabei die Kettenregel.

$f^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot 3=1-e^{3\cdot x-10}$

Löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$:

$G_f$ hat an der Stelle $x={\displaystyle \frac{10}{3}}$ einen Hochpunkt (siehe Abb.).

Berechne $f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$:

$f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot \frac{10}{3}-10}={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{10-10}={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^0={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

Der Durchmesser $d_0$ ist der doppelte y-Wert des Hochpunktes$\Rightarrow d_0=2\cdot 3=6$.

Der Durchmesser $d_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss, beträgt $6\mathrm{cm}$.

Bestimme die Masse $m$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte $\rho =\mathrm{8,50}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$ besitzt

Es ist $m=\rho \cdot V$.

Berechne das Rotationsvolumen:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_a^b{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{d}x}$$

Hier gilt:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10})}^{2}dx=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4(x^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10}\cdot x+{\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot e^{6\cdot x-20})dx}}$$

Berechne die drei Integrale getrennt (zunächst ohne Grenzen):

1. Integral:

$${\displaystyle \int x^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}$$

2. Integral:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10}\cdot xdx={\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot xdx}}$$, löse dieses Integral mit partieller Integration.

Es gilt: $${\displaystyle {\int }_{}^{}{u}^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x=u\left(x\right)v\left(x\right)-{\int }_{}^{}u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

Es ist $u^{\prime }(x)=e^{3\cdot x-10}$ und $v(x)=x$

$\Rightarrow$$${\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot xdx={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot 1dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3\cdot x-10}}}$$

Also folgt:

$${\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \int e^{3\cdot x-10}\cdot xdx={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3\cdot x-10})={\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot x-10}}$$

3. Integral:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot e^{6\cdot x-20}dx={\displaystyle \frac{1}{56}}\cdot e^{6\cdot x-20}}$$

Insgesamt erhält man dann:

$$V=\pi \cdot {\displaystyle {\int }_1^4{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot e^{3\cdot x-10})}^{2}dx=\pi \cdot {[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot x-10}\cdot x-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot x-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot x-20}]}_1^4}$$$V=\pi \cdot (({\displaystyle \frac{64}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot 4-10}\cdot 4-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot 4-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot 4-20})$

$\phantom{V=\pi \cdot (}-({\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{3\cdot 1-10}\cdot 1-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{3\cdot 1-10})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{6\cdot 1-20}))$

$V=\pi \cdot (({\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}{e}^2+{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^4)-({\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{-7})+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{-14}))$

$V=\pi \cdot ({\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}{e}^2+{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^2+{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^4-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{2}{27}}{e}^{-7}-{\displaystyle \frac{1}{54}}\cdot e^{-14})\approx \mathrm{50,236}$

$m=\rho \cdot V=\mathrm{8,50}\cdot \mathrm{50,236}\approx 427$

Die Masse $m$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet) beträgt $427\mathrm{g}$.