Berechnen des Umfangs des Dreiecks $\text{𝐀𝐃𝐂}$.

Folgende Größen sind bekannt:

Das Dreieck $\mathrm{ABC}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

$\sphericalangle \text{ABC}=180°-40°-90°$

$\sphericalangle \text{ABC}=50°$

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}\Rightarrow \sphericalangle \text{CDB}=\sphericalangle \text{BCD}$

$\sphericalangle \text{CDB}=\sphericalangle \text{BCD}={\displaystyle \frac{180°-50°}{2}}=65°$

Im Dreieck $\text{ADC}$ gilt, $\sphericalangle \text{DCA}=90°-65°=25°$ und $\sphericalangle \text{ADC}=180°-40°-25=115°$

Berechnen der Seiten $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$ und $\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ mit dem Sinussatz.

Der Sinussatz angewandt auf unser Dreieck $\text{ADC}$ lautet:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}}{\sin \left(40°\right)}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(115°\right)}}={{\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}{\sin \left(25°\right)}}}_{}^{}$

Berechnen der Seite $\overline{\text{𝐀𝐃}}$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}{\sin \left(25°\right)}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{\sin \left(115°\right)}}\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(25°\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(115°\right)}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(25°)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(115°)}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\mathrm{4,43}\text{ cm}$

Berechnen der Seite $\overline{\text{𝐃𝐂}}$

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}}{\sin \left(40°\right)}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{\sin \left(115°\right)}}\Rightarrow \overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(40°\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(115°\right)}}$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(40°)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(115°)}}$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{6,74}\text{ cm}$

Der Umfang des Dreiecks $\text{ADC}$ ist dann,

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{9,5}+\mathrm{4,43}+\mathrm{6,74}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}}=\mathrm{20,67}\text{ cm}$

Anmerkung:

Wir haben hier mit den Sinuswerten gerechnet, die der Rechner liefert, wenn Du mit gerundeten Werten rechnest, erhältst Du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.