Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I

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Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic“ ( $B$ ) und
„Highspeed“ ( $H$ ) wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen ( $R$ ) oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen ( $R$ ). Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren ( $S$ ), einen Techniker hiermit beauftragen ( $T$ ) oder sogar einen Komplettservice ( $K$ ) wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.
Erfahrungsgemäß nehmen $60 %$ der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich $80 %$ der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed“-Tarif und Router möchten $40 %$ den Komplettservice.
Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als
Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
  [Teilergebnis: $P ({(H; R; K)}) = 0,128$ ] (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments
  Gegeben:
  Erfahrungsgemäß nehmen $60 %$ der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich $80 %$ der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed“-Tarif und Router möchten $40 %$ den Komplettservice.
  Linke Hälfte des Baumdiagramms:
  $E$
  $(H, R)$
  $(H, R; S)$
  $(H, R; T)$
  $(H, R; K)$
  $P (E)$
  $\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,2 \\ = 0,08 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \\ = 0,16 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,1 \\ = 0,032 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,4 \\ = 0,128 \end{array}$
  Rechte Hälfte des Baumdiagramms:
  $E$
  $(B, R)$
  $(B, R, S)$
  $(B, R, T)$
  $(B, R, K)$
  $P (E)$
  $\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,2 \\ = 0,12 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \\ = 0,24 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,25 \\ = 0,12 \end{array}$
  $\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,25 \\ = 0,12 \end{array}$
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  Gegeben:
  Erfahrungsgemäß nehmen $60 %$ der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich $80 %$ der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed“-Tarif und Router möchten $40 %$ den Komplettservice.
  Übertrage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
2. Gegeben sind folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“
  $E_{2} : {(B; R; K); (B; R); (H; R; K); (H; R)}$
  $E_{3} = E_{1} \cap E_{2}$
  Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_{3}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $P (E_{3})$ .
  (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an
  $E_{1} = Ω - {(B; R; K); (H; R; K)}$
  $E_{1} = {(B, R, S); (B, R, T); (B, R); (H, R, S); (H, R, T); (H, R)}$
  Formuliere $E_{3}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang
  Gegeben: $E_{2} : {(B; R; K); (B; R); (H; R; K); (H; R)}$
  Dann ist $E_{3} = E_{1} \cap E_{2} = {(B, R); (H, R)}$ .
  $E_{3}$ : "Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router."
  Berechne $P (E_{3})$
  $P (E_{3}) = P ({B, R}) + P ({H, R}) = 0,12 + 0,08 = 0,20$
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  Teil 1
  $E_{1} = Ω - {(B; R; K); (H; R; K)}$ . Welche Ereignisse gehören dann zu $E_{1}$ ?
  Teil 2
  Es ist $E_{3} = E_{1} \cap E_{2} = {(B, R); (H, R)}$ . Was bedeuten diese zwei Ereignisse?
  Teil 3
  Berechne $P (E_{3}) = P ({B, R}) + P ({H, R})$ .
3. Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der
  Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router ( $R$ ) oder anderweitig organisierter Router).
  Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei $60 %$ aller Kunden ohne Unterbrechungen ( $U$ ) funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.
  Es gilt weiterhin $P (R) = 0,8$ .
  Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ miteinander vergleichen. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel
  Bekannt sind:
  1. Es gilt weiterhin $P (R) = 0,8$ .
  2. Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei $60 %$ aller Kunden ohne Unterbrechungen ( $U$ ) funktioniert $\Rightarrow P (U) = 0,6$ .
  3. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router $\Rightarrow P (U \cap R) = 0,5$ .
  Erstelle mit diesen Daten eine Vierfeldertafel (gegebene Werte in rot)
  $R$
  $R$
  $U$
  $0,8 - 0,5 = 0,3$
  $0,4 - 0,3 = 0,1$
  $1 - 0,6 = 0,4$
  $U$
  $0,5$
  $0,6 - 0,5 = 0,1$
  $0,6$
  $0,8$
  $1 - 0,8 = 0,2$
  1
  Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten:
  $P_{R} (U) = \frac{P (R \cap U)}{P (R)} = \frac{0,3}{0,8} = 0,375$ und $P_{R} (U) = \frac{P (R \cap U)}{P (R)} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$
  Formuliere im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Du die beiden Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ miteinander vergleichst
  Personen, die ihren Router anderweitig organisieren, haben häufiger Internetprobleme als die Kunden, die einen Router mitbestellen $(0,5 > 0,375)$ .
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  Teil 1
  Bekannt sind:
  1. Es gilt weiterhin $P (R) = 0,8$ .
  2. Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei $60 %$ aller Kunden ohne Unterbrechungen ( $U$ ) funktioniert $\Rightarrow P (U) = 0,6$ .
  3. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router $\Rightarrow P (U \cap R) = 0,5$ .
  Erstelle mit diesen Daten eine Vierfeldertafel.
  Teil 2
  Berechne $P_{R} (U) = \frac{P (R \cap U)}{P (R)}$ und $P_{R} (U) = \frac{P (R \cap U)}{P (R)}$ und vergleiche.
2
In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL-Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:
Haushalte mit
DSL 2000
Haushalte mit
DSL 6000
Haushalte mit
DSL 16000
Haushalte mit
DSL 50000
$17,3 %$
$17,9 %$
$19,8 %$
$15,0 %$
Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden $25$ Haushalte der Region zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$E_{4}$ : „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“
$E_{5}$ : „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen
einen DSL 50000-Anschluss.“
$E_{6}$ : „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-
Internetanschluss.“
(6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
$E_{4}$ : „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“
Gegeben sind: $n = 25, p = 0,173 \Rightarrow 1 - p = 0,827$
$E_{4} : P (X = 3) = B (25; 0,173; 3) = (\binom{25}{3}) \cdot {0,173}^{3} \cdot {0,827}^{25 - 3} \approx 0,18238$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei der ausgewählten Haushalte einen DSL 2000-Anschluss besitzen, beträgt rund $0,18238$ .
$E_{5}$ : „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“
Gegeben sind: $n = 25, p = 0,15$
$E_{5} : P (6 \leq X \leq 9) = F (25; 0,15; 9) - F (25; 0,15; 5) \approx 0,99786 - 0,83848 = 0,15938$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte einen DSL 50000-Anschluss besitzen, beträgt rund $0,15938$ .
$E_{6}$ : „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-Internetanschluss.“
$p_{D S L} = 0,173 + 0,179 + 0,198 + 0,15 = 0,70$ und $n = 25$ .
Die Hälfte von $25$ ist $12,5 \Rightarrow$ weniger als die Hälfte $X \leq 12$ .
$E_{6} : P (X \leq 12) = F (25; 0,70; 12) \approx 0,01747$
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte über einen DSL-Internetanschluss verfügen, beträgt rund $0,01747$ .
Anmerkung: Wahrscheinlichkeitswerte wurden mit dem TR oder dem Tafelwerk ermittelt.
$E_{4}$ : Gegeben sind: $n = 25, p = 0,173 \Rightarrow 1 - p = 0,827$ . Berechne $P (X = 3)$ .
$E_{5}$ : Gegeben sind: $n = 25, p = 0,15$ . Berechne $P (6 \leq X \leq 9)$ .
$E_{6}$ : Berechne $p_{D S L}$ , indem Du die Summe der vier Arten von DSL-Internetanschlüssen bildest. Die Hälfte von $25$ ist $12,5 \Rightarrow$ weniger als die Hälfte $X \leq 12$ . Berechne dann $P (X \leq 12)$ .
3
Für ein Glücksspiel wird eine gezinkte Münze verwendet, bei der „Kopf“ mit der
Wahrscheinlichkeit $40 %$ fällt. Man zahlt 4 € Einsatz und wirft dreimal die Münze. Fällt dreimal Kopf, werden 20 € ausbezahlt. Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl
auftreten, erhält man 10 €. Sonst erfolgt keine Auszahlung.
Prüfen Sie, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Prüfe, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist
Erstelle ein Baumdiagramm:
Baumdiagramm
$X$ ist der Gewinn des Spielers in €.
Man zahlt 4 € Einsatz.
Fällt dreimal Kopf, werden 20 € ausbezahlt $\Rightarrow$ Gewinn $= 16 €$ .
Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl auftreten, erhält man 10 € $\Rightarrow$ Gewinn= $6 €$ .
Sonst erfolgt keine Auszahlung $\Rightarrow$ Gewinn $= - 4 €$ .
Dem Baumdiagramm entnimmt man:
$P (X = 6) = P ((K, Z, K); (Z, K, Z)) = {0,4}^{2} \cdot 0,6 + {0,6}^{2} \cdot 0,4 = 0,24$
$P (X = 16) = P ((K, K, K)) = {0,4}^{3} = 0,064$
$P (X = - 4) = 1 - (0,24 + 0,064) = 1 - 0,304 = 0,696$
Damit erhält man die folgende Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
$x$
$- 4$
$6$
$16$
P(X=x)
$0,696$
$0,24$
$0,064$
$E (X) = - 4 \cdot 0,696 + 6 \cdot 0,24 + 16 \cdot 0,064 = - 0,32$
Der Spieler verliert im Mittel $0,32 €$ , d.h. das Spiel ist für den Spieler ungünstig.
$X$ ist der Gewinn des Spielers in €. Man zahlt 4 € Einsatz.
Fällt dreimal Kopf, werden 20 € ausbezahlt $\Rightarrow$ Gewinn $= 16 €$ .
Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl auftreten, erhält man 10 € $\Rightarrow$ Gewinn= $6 €$ .
Sonst erfolgt keine Auszahlung $\Rightarrow$ Gewinn $= - 4 €$ .
Berechne (mithilfe eines Baumdiagramms) $P (X = 6)$ und $P (x = 16)$ . $P (X = - 4)$ wird mit dem Gegenereignis berechnet.

$E$	$(H, R)$	$(H, R; S)$	$(H, R; T)$	$(H, R; K)$
$P (E)$	$\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,2 \\ = 0,08 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \\ = 0,16 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,1 \\ = 0,032 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,4 \\ = 0,128 \end{array}$

$E$	$(B, R)$	$(B, R, S)$	$(B, R, T)$	$(B, R, K)$
$P (E)$	$\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,2 \\ = 0,12 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \\ = 0,24 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,25 \\ = 0,12 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,25 \\ = 0,12 \end{array}$

	$R$	$R$
$U$	$0,8 - 0,5 = 0,3$	$0,4 - 0,3 = 0,1$	$1 - 0,6 = 0,4$
$U$	$0,5$	$0,6 - 0,5 = 0,1$	$0,6$
	$0,8$	$1 - 0,8 = 0,2$	1

Haushalte mit DSL 2000	Haushalte mit DSL 6000	Haushalte mit DSL 16000	Haushalte mit DSL 50000
$17,3 %$	$17,9 %$	$19,8 %$	$15,0 %$

$x$	$- 4$	$6$	$16$
P(X=x)	$0,696$	$0,24$	$0,064$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments

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Gib E1 in aufzählender Mengenschreibweise an

Formuliere E3 möglichst einfach im Sachzusammenhang

Berechne P(E3)

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Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten PR(U) und PR(U), z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel

Formuliere im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Du die beiden Wahrscheinlichkeiten PR(U) und PR(U) miteinander vergleichst

Hast du eine Frage oder Feedback?

E4: „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“

E5: „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“

E6: „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-Internetanschluss.“

Prüfe, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist

Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an

Formuliere $E_{3}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang

Berechne $P (E_{3})$

Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel

Formuliere im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Du die beiden Wahrscheinlichkeiten $P_{R} (U)$ und $P_{R} (U)$ miteinander vergleichst

$E_{4}$ : „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“

$E_{5}$ : „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“

$E_{6}$ : „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-Internetanschluss.“