Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{2 x}{4 - x^{2}}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} =] - 2; 2 [$ .

Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{f}$ und die Nullstelle von $f$ an.
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Gib die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{f}$ und die Nullstelle von $f$ an
Asymptoten:
Verhalten von $f$ am linken Definitionsrand:
$\lim_{x \to - 2^{+}} \frac{\overset{\to - 4}{\overset{⏞}{2 x}}}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{4 - x^{2}}}} = - \infty$
Verhalten von $f$ am rechten Definitionsrand:
$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{\overset{\to 4}{\overset{⏞}{2 x}}}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{4 - x^{2}}}} = \infty$
$\Rightarrow$ Es gibt zwei senkrechte Asymptoten bei $x = - 2$ und $x = 2$ .
Nullstelle:
$f (x) = 0 \Rightarrow x = 0$ . Die Nullstelle von $f$ ist $x = 0$ .
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Teil 1
Betrachte das Verhalten von $f$ am linken und am rechten Definitionsrand.
Teil 2
Berechne $f (x) = 0$ .
Weisen Sie nach, dass die Funktion $f$ in ihrer Definitionsmenge $D_{f}$ umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von $f$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Weise nach, dass die Funktion $f$ in ihrer Definitionsmenge $D_{f}$ umkehrbar ist
Berechne die Ableitung von $f (x)$ mithilfe der Quotientenregel:
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(4 - x^{2}) \cdot 2 - 2 x \cdot (- 2 x)}{(4 - x^{2})^{2}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{8 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{(4 - x^{2})^{2}}$
$=$ $\frac{2 x^{2} + 8}{(4 - x^{2})^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{Z (x)}{N (x)}$
Für alle $x \in D_{f}$ gilt: $Z (x) > 0$ und $N (x) > 0 \Rightarrow f^{'} (x) > 0$
$\Rightarrow$ $f^{'} (x)$ ist streng monoton steigend $\Rightarrow$ es existiert eine Umkehrfunktion.
Ermittle die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von $f$
Gegeben ist die Definitionsmenge $D_{f} =] - 2; 2 [$ . Betrachte das Verhalten von $f$ an den Definitionsrändern.
Verhalten von $f$ am linken Definitionsrand:
$\lim_{x \to - 2^{+}} \frac{\overset{\to - 4}{\overset{⏞}{2 x}}}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{4 - x^{2}}}} = - \infty$
Verhalten von $f$ am rechten Definitionsrand:
$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{\overset{\to 4}{\overset{⏞}{2 x}}}{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{4 - x^{2}}}} = \infty$
$\Rightarrow W_{f} =] - \infty; + \infty [= ℝ \Rightarrow D_{f^{- 1}} = ℝ$

Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von $f$ ist $D_{f^{- 1}} = ℝ$ .
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Teil 1
Berechne die Ableitung von $f (x)$ mithilfe der Quotientenregel und prüfe, ob $f^{'} (x) > 0$ oder ob $f^{'} (x) < 0$ für alle $x \in D_{f}$ ist.
Teil 2
Ermittle $W_{f}$ . Dann ist $D_{f^{- 1}} = W_{f}$ .
Der Graph von $f$ und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei $x = 1$ schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle $x = 0$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 - x^{2}} d x$ .
Eine Stammfunktion von $f$ ist $F (x) = - \ln | 4 - x^{2} | + C$ .
Dann folgt:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 - x^{2}} d x = F (1) - F (0) = - \ln | 4 - 1^{2} | - (- \ln | 4 - 0^{2} |) = - \ln 3 + \ln 4 = \ln \frac{4}{3}$
Die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt $\ln \frac{4}{3} FE$ .
Graphische Darstellung:
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden. Sie dient nur der Veranschaulichung. Hinweis: $\ln \frac{4}{3} \approx 0,2877$
Flächenberechnung
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Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle $x = 0$ .
Berechne das Integral $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 - x^{2}} d x$ . Ermittle dazu eine Stammfunktion.
Gegeben ist nun die Funktion $g : x \mapsto \ln (f (x))$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{g} \subset D_{f}$ . Ermitteln Sie die Definitionsmenge $D_{g}$ und die exakte Nullstelle von $g$ .
(5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Ermittle die Definitionsmenge $D_{g}$
Es ist $g (x) = \ln (\frac{2 x}{4 - x^{2}})$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{g} \subset D_{f}$ .
Das Argument vom $\ln$ muss größer null sein $\Rightarrow x > 0 \Rightarrow D_{g} =] 0; 2 [$ .
Ermittle die exakte Nullstelle von $g$
Es gilt: $\ln (1) = 0 \Rightarrow 1 = \frac{2 x}{4 - x^{2}}$
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$1$ $=$ $\frac{2 x}{4 - x^{2}}$ $\cdot (4 - x^{2})$
↓
Löse nach $x$ auf.
$4 - x^{2}$ $=$ $2 x$ $+ x^{2} - 4$
$0$ $=$ $x^{2} + 2 x - 4$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 2$ und $q = - 4$ ein.
$=$ $- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 4)}$
$=$ $- 1 \pm \sqrt{1 + 4}$
$=$ $- 1 \pm \sqrt{5}$
Die Lösung $x_{1} = - 1 - \sqrt{5}$ entfällt, da $x_{1} \notin D_{g}$ .
Die exakte Nullstelle von $g$ ist also $x = - 1 + \sqrt{5}$ .
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Teil 1
Das Argument vom $\ln$ muss größer null sein. Was folgt daraus?
Teil 2
Es gilt: $\ln (1) = 0$ . Löse die entsprechende Gleichung nach $x$ auf.

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$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(4 - x^{2}) \cdot 2 - 2 x \cdot (- 2 x)}{(4 - x^{2})^{2}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{8 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{(4 - x^{2})^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x^{2} + 8}{(4 - x^{2})^{2}}$

$1$	$=$	$\frac{2 x}{4 - x^{2}}$	$\cdot (4 - x^{2})$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$4 - x^{2}$	$=$	$2 x$	$+ x^{2} - 4$
$0$	$=$	$x^{2} + 2 x - 4$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 2$ und $q = - 4$ ein.
	$=$	$- \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 4)}$
	$=$	$- 1 \pm \sqrt{1 + 4}$
	$=$	$- 1 \pm \sqrt{5}$

Gib die Gleichungen aller Asymptoten von Gf und die Nullstelle von f an

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Weise nach, dass die Funktion f in ihrer Definitionsmenge Df umkehrbar ist

Ermittle die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von f

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Berechne die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks

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Ermittle die Definitionsmenge Dg

Ermittle die exakte Nullstelle von g

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Gib die Gleichungen aller Asymptoten von $G_{f}$ und die Nullstelle von $f$ an

Weise nach, dass die Funktion $f$ in ihrer Definitionsmenge $D_{f}$ umkehrbar ist

Ermittle die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von $f$

Ermittle die Definitionsmenge $D_{g}$

Ermittle die exakte Nullstelle von $g$