Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Die Gerade $g$ und die verschobene Normalparabel $p$ gehen durch die beiden Punkte $A (2 | 3)$ und B $(6 | 11)$ .
Der Punkt $C (4 | y_{c})$ liegt auf der Parabel $p$ .
Die Gerade $h$ steht senkrecht auf $g$ und geht durch $C$ .
Die Gerade $h$ schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten $P$ und $Q$ .
Berechne die Koordinaten von $P$ und $Q$ .
(5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wichtige Funktionstypen und ihre Eigenschaften
Berechnen der Koordinaten von $P$ und $Q$ .
$𝟏.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel $p .$
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = {a x}^{2} + b x + c$
Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes $A$ und des Punktes $B$ , in die allgemeine Form, erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
$I (A) : 4 + 2 b + c = 3$
$I I (B) : 36 + 6 b + c = 11$
Der Öffnungsfaktor $a = 1$ , da es sich bei der Parabel $p$ um eine Normalparabel handelt.
Auflösen beider Gleichungen nach $c$ und gleichsetzen.
$I ‘ : c = 3 - 4 - 2 b$
$I I ‘ : c = 11 - 36 - 6 b$
Gleichsetzen von I' und II'
↓
$3 - 4 - 2 b$ $=$ $11 - 36 - 6 b$ $+ 6 b$
↓
addieren und zusammenfassen
$- 1 + 4 b$ $=$ $- 25$ $+ 1$
↓
addieren
$4 b$ $=$ $- 24$ $: 4$
↓
dividieren
$b$ $=$ $- 6$
Berechnen von $c :$
Einsetzen von $- 6$ in $I’$
$c = 3 - 4 - 2 \cdot (- 6)$
$c = - 1 + 12 \Rightarrow c = 11$
Die Funktionsgleichung der Parabel $p$ lautet dann:
$p : y = x^{2} - 6 x + 11$
$𝟐.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $g$ .
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$f (x) = m \cdot x + b$
Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes $A$ und des Punktes $B$ in die allgemeine Geradengleichung, erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
$I (A) : 2 m + b = 3$
$I (B) : 6 m + b = 11$
Auflösen beider Gleichungen nach $b$ und gleichsetzen
$I ‘ : b = 3 - 2 m$
$I I ‘ : b = 11 - 6 m$
Gleichsetzen von I' und II'
↓
$3 - 2 m$ $=$ $11 - 6 m$ $+ 6 m$
↓
addieren
$3 + 4 m$ $=$ $11$ $- 3$
↓
subtrahieren
$4 m$ $=$ $8$ $: 4$
↓
dividieren
$m$ $=$ $2$
Hinweis:
Alternativ kann die Steigung $m$ auch mit der Formel
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ berechnet werden.
$m_{g} = \frac{11 - 3}{6 - 2}$
$m_{g} = \frac{8}{4} \Rightarrow m_{g} = 2$
Berechnen von $b :$
Einsetzen von $2$ in $I’$
$b = 3 - 4 \Rightarrow b = - 1$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g$ lautet dann:
$g : y = 2 x - 1$
$𝟑.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $h$ .
Damit die Funktionsgleichung der Geraden $h$ aufgestellt werden kann, muss zuerst die $y$ -Koordinate des Punktes $𝐂$ berechnet werden.
Berechnen der $y$ -Koordinate des Punktes $𝐂$ .
Einsetzen der $x$ -Koordinate des Punktes $𝐂$ in die Funktionsgleichung
der Parabel $p$ .
$y = 4^{2} - 6 \cdot 4 + 11$
$y = 16 - 24 + 11$
$y = 3 C (4 | 3)$
Ermitteln der Steigung $m$ der Funktionsgleichung der Geraden $h$ .
Da die Gerade h senkrecht auf der Geraden g steht, gilt für die Steigungen:
$m_{g} \cdot m_{h} = - 1$
$2 \cdot m_{h} = - 1 \Rightarrow m_{h} = - \frac{1}{2}$
Einsetzen der Steigung $m_{h}$ und der Koordinaten des Punktes $𝐂$ in die allgemeine Geradengleichung:
$3$ $=$ $- \frac{1}{2} \cdot 4 + b$
↓
vereinfachen
$3$ $=$ $- 2 + b$ $+ 2$
↓
addieren und Seiten tauschen
$b$ $=$ $5$
Die Funktionsgleichung der Geraden $h$ lautet dann:
$h : y = - \frac{1}{2} x + 5$
Berechnen der Koordinaten von P:
↓
$- \frac{1}{2} x + 5$ $=$ $0$ $\cdot (- 2)$
↓
Nenner beseitigen
$x - 10$ $=$ $0$ $+ 10$
↓
addieren
$x$ $=$ $10$
Die Koordinaten von $P$ sind:
$P (10 | 0)$

Berechnen der Koordinaten von $𝐐 :$
Einsetzen von $x = 0$ in die Funktionsgleichung der Geraden $h$ :
$0 + 5 = y \Rightarrow y = 5$
Die Koordinaten von $Q$ sind:
$Q (0 | 5)$
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Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel $p$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $g$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $h$ .
Berechnen der Koordinaten $P$ und $Q$ .

Ein DIN-A4-Blatt hat die Eckpunkte $A, B, C$ und $D$ .

Die Punkte $M_{1}$ und $M$ $_{2}$ halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts.

Bild 1

Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet.

Bild 2

Der Punkt $A$ wird zu $A^{'}$ und liegt nach dem Falten auf $M_{1}$ .

Der Punkt $C$ wird zum Punkt $C^{'}$ . Die beiden Papierkanten stoßen entlang von $M_{1} F$ aneinander.

Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $E M_{1} D$ und des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .

(5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $E M_{1} D$ und des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .

Berechnen des Flächeninhaltes des Dreiecks $E M_{1} D$ .

Bestimmen des Winkels $α_{1}$ mithilfe des Tangens.

Das Dreieck $M_{1} C ‘ M_{2}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt:

$\tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$

Angewandt auf das Dreieck $M_{1} C ‘ M_{2}$ :

$\tan (α_{1}) = \frac{10,5}{14,85}$

$\tan (α_{1}) = 0,7071$

$α_{1} = 35,26 °$

Bestimmen des Winkels $γ$ .

$γ = 180 ° - 90 ° - α_{1} - α_{2}$

$α_{1} = α_{2}$ wegen Kongruenz der Dreiecke $M_{1} C ‘ M_{2}$ und $M_{2} C M_{1}$ .

$γ = 180 ° - 90 ° - 35,26 ° - 35,26 °$

$γ = 19,48 °$

Bestimmen der Seite $D E$ :

$\tan (γ) = \frac{D E}{14,85} \Rightarrow D E = t a n (19,48 °) \cdot 14,85$

$D E = 0,3537 \cdot 14,85$

$D E = 5,25 cm$

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $E M_{1} D .$

$A_{E M_{1} D} = \frac{D M_{1} \cdot D E}{2}$

$A_{E M_{1} D} = \frac{14,85 \cdot 5,25}{2}$

$A_{E M_{1} D} = 38,98 {cm}^{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $E M_{1} D$ beträgt: $38,98 {cm}^{2}$ .

Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $E M_{1} D$ :

${(21 - y)}^{2} = y^{2} + {14,85}^{2}$

auflösen der Klammer
	↓
$441 - 42 y + y^{2}$	$=$	$y^{2} + 220,5225$	$- y^{2}$
	↓	subtrahieren
$441 - 42 y$	$=$	$220,5225$	$- 441$
	↓	subtrahieren
$- 42 y$	$=$	$- 220,4775$	$: (- 42)$
	↓	dividieren
$y$	$=$	$5,25$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $E M_{1} D$ beträgt: $38,98 {cm}^{2}$ .

Berechnen des Flächeninhaltes des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .

Das grüne Viereck $F B M_{2} C^{'}$ kann in die rechtwinkligen Dreiecke $F M_{2} C ‘$ und $F B M_{2}$ zerlegt werden, diese beiden Dreiecke sind kongruent, siehe Bild 4.

Berechnen des Flächeninhaltes des Dreiecks $F M_{2} C ‘$ .

$A_{F M_{2} C ‘} = \frac{x \cdot 10,5}{2}$

Berechnen von $x$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Die Dreiecke $AFE$ und $E F A ‘$ sind kongruent.

Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $AFE$ :

${(E F)}^{2} = {15,75}^{2} + (29,7 - x)^{2}$

Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $E F A ‘$ :

${(E F)}^{2} = {15,75}^{2} + (14,85 + x)^{2}$

gleichsetzen
	↓
${15,75}^{2} + (29,7 - x)^{2}$	$=$	${15,75}^{2} + (14,85 + x)^{2}$	$- {15,75}^{2}$
	↓	subtrahieren
${(29,7 - x)}^{2}$	$=$	${(14,85 + x)}^{2}$
	↓	Klammern auflösen
$882,09 - 59,4 x + x^{2}$	$=$	$220,5225 + 29,7 x + x^{2}$	$- x^{2}$
	↓	subtrahieren
$882,09 - 59,4 x$	$=$	$220,5225 + 29,7 x$	$- 29,7 x - 882,09$
	↓	subtrahieren
$- 89,1 x$	$=$	$- 661,5675$	$: (- 89,1)$
	↓	dividieren
$x$	$=$	$7,425$

$A_{F M_{2} C ‘} = A_{F B M_{2}} = \frac{7,425 \cdot 10,5}{2} \Rightarrow A_{F M_{2} C ‘} = A_{F B M_{2}} = 38,98 c m^{2}$

Der Flächeninhalt des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ ist dann:

$A_{F B M_{2} C^{'}} = A_{F M_{2} C ‘} + A_{F B M_{2}} \Rightarrow A_{F B M_{2} C^{'}} = 38,98 + 38,98$

$A_{F B M_{2} C^{'}} = 77,96 {cm}^{2}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Gleichsetzen von I' und II'
	↓
$3 - 4 - 2 b$	$=$	$11 - 36 - 6 b$	$+ 6 b$
	↓	addieren und zusammenfassen
$- 1 + 4 b$	$=$	$- 25$	$+ 1$
	↓	addieren
$4 b$	$=$	$- 24$	$: 4$
	↓	dividieren
$b$	$=$	$- 6$

Gleichsetzen von I' und II'
	↓
$3 - 2 m$	$=$	$11 - 6 m$	$+ 6 m$
	↓	addieren
$3 + 4 m$	$=$	$11$	$- 3$
	↓	subtrahieren
$4 m$	$=$	$8$	$: 4$
	↓	dividieren
$m$	$=$	$2$

$3$	$=$	$- \frac{1}{2} \cdot 4 + b$
	↓	vereinfachen
$3$	$=$	$- 2 + b$	$+ 2$
	↓	addieren und Seiten tauschen
$b$	$=$	$5$

Berechnen der Koordinaten von P:
	↓
$- \frac{1}{2} x + 5$	$=$	$0$	$\cdot (- 2)$
	↓	Nenner beseitigen
$x - 10$	$=$	$0$	$+ 10$
	↓	addieren
$x$	$=$	$10$

Berechnen der Koordinaten von P und Q.

𝟏.) Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel p.

𝟐.) Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden g.

𝟑.) Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden h.

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Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks EM1D und des Vierecks FBM2C′.

Berechnen des Flächeninhaltes des Dreiecks EM1D.

Berechnen des Flächeninhaltes des Vierecks FBM2C′.

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Berechnen der Koordinaten von $P$ und $Q$ .

$𝟏.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel $p .$

$𝟐.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $g$ .

$𝟑.)$ Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $h$ .

Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $E M_{1} D$ und des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .

Berechnen des Flächeninhaltes des Dreiecks $E M_{1} D$ .

Berechnen des Flächeninhaltes des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .