Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto 5 x \cdot e^{- x}$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$ .

$G$ hat genau einen Extrempunkt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ .
$(zur Kontrolle : (1 | \frac{5}{e}) ⁣)$ (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von $G$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 5 (1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$
Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
$f (1) = 5 \cdot 1 \cdot e^{- 1} = \frac{5}{e}$
Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ .
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Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung: $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{E}$
Berechne noch $f (x_{E})$ und gibt die Koordinaten $(x_{E} | f (x_{E}))$ des Extrempunktes an.
Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = - \frac{5}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$ .
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft
Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = - \frac{5}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$ .
$\Rightarrow m_{W} = - \frac{5}{e^{2}} \Rightarrow m_{g} = \frac{e^{2}}{5}$ , da $m_{W} \cdot m_{g} = - 1$
$g : y = \frac{5}{e^{2}} \cdot x + b$
Setze die Koordinaten $(1 | \frac{5}{e})$ des Extrempunkts von $G$ in $g$ ein.
$\frac{5}{e} = \frac{5}{e^{2}} \cdot 1 + b \Rightarrow b = \frac{5}{e} - \frac{5}{e^{2}}$
Die Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft, ist $g : y = \frac{5}{e^{2}} \cdot x + \frac{5}{e} - \frac{5}{e^{2}}$
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Es ist $g : y = m_{g} \cdot x + b$ .
Dabei ist $m_{W} \cdot m_{g} = - 1$ . Da $m_{W}$ gegeben ist, kann $m_{g}$ berechnet werden.
Setze die Koordinaten $(1 | \frac{5}{e})$ des Extrempunkts von $G$ in $g$ ein und berechne den y-Achsenabschnitt.
Betrachtet wird die in $[1; + \infty [$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = f (x)$ .
Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Begründe, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist
Aus Abbildung 1 entnimmt man, dass es zwei x-Werte gibt, für die $f (x) = 1,5$ ist. Daher ist $f$ nicht umkehrbar.
Es ist $f^{'} (x) = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$ und $f^{'} (x) < 0$ in $] 1; + \infty [$ .
Die Funktion $h$ ist umkehrbar, da $f$ im Intervall $[1; + \infty [$ streng monoton ist.
Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an
Gegeben ist $D_{h} = [1; + \infty [$ . Dann ist $W_{h^{- 1}} = [1; + \infty [$ .
Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ $\Rightarrow y_{max} = \frac{5}{e}$
Weiterhin gilt: $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ , dann ist $D_{h^{- 1}} =] 0; \frac{5}{e}]$
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Teil 1
Finde zwei x-Werte gibt, die den gleichen Funktionswert $f (x)$ haben. Daher ist $f$ nicht umkehrbar.
Es ist $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ . Zeige, dass $h$ im Intervall $[1; + \infty [$ streng monoton fallend ist.
Teil 2
Gegeben ist $D_{h} = [1; + \infty [$ . Dann ist $W_{h^{- 1}} = D_{h}$ .
Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ $\Rightarrow y_{max} = \frac{5}{e}$ und $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0 \Rightarrow D_{h^{- 1}}$ .
Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt. Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Geraden mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_{1}$ und $H_{2}$ beschrieben:
$H_{1}$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Geraden mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.
$H_{2}$ entsteht durch Spiegeln von $H_{1}$ an der Geraden mit der Gleichung $x = \ln 5$ .
Der Punkt $S (\ln 5 | \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_{1}$ und $H_{2}$ .
Begründen Sie, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Begründe, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann
Der Flächeninhalt des braun eingezeichneten Rechtecks ist $A = (5 - \ln 5) \cdot \ln 5$
(Länge: $(5 - \ln 5)$ , Breite $\ln 5$ )
Beachte, $h (x) = f (x)$ , mit $D_{h} =$ $[1; + \infty [$ .
Dann ist $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ der Flächeninhalt, den $G$ und die Geraden $x = \ln 5$ und $x = 5$ mit der x-Achse einschließen.
Bildet man die Differenz von $A$ und $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ , dann erhält man den Flächeninhalt der grün schraffierten Fläche.
Spiegelt man die grün schraffierte Fläche an der Geraden $y = x$ , erhält man den Flächeninhalt der linken Hälfte des Wappens.
Der gesamte Flächeninhalt der Figur ist dann $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$
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Betrachte das Viereck, das zwischen den Geraden $y = 0, y = \ln 5, x = \ln 5$ und $x = 5$ liegt. Gib seinen Flächeninhalt an $\Rightarrow A_{1}$ .
Welchen Flächeninhalt beschreibt $A_{2} = \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ ?
Welcher Flächeninhalt ist dann die Differenz zwischen $A_{1}$ und $A_{2}$ ?
Die in $ℝ$ definierte Funktion $F : x \mapsto - 5 (x + 1) \cdot e^{- x}$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Berechnen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau
Gegeben ist $F (x) = - 5 (x + 1) \cdot e^{- x}$ .
Weiterhin gilt: $A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x) = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - (F (5) - F (\ln 5))$
$F (5) = - 5 (5 + 1) \cdot e^{- 5} = - 30 \cdot e^{- 5}$
$F (\ln 5) = - 5 (\ln 5 + 1) \cdot e^{- \ln 5} = - 5 (\ln 5 + 1) \cdot 0,2$
Dann ist $A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - (- 30 \cdot e^{- 5} - (- 5 (\ln 5 + 1) \cdot 0,2))$
$A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 + 30 \cdot e^{- 5} - 1 \cdot (\ln 5 + 1))) \approx 6,1$
Der Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau berechnet, beträgt rund $6,1 FE$ .
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Berechne $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x = F (5) - F (\ln 5)$ und setze in den Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ ein.

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Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von G

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Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von G enthält und senkrecht zu t verläuft

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Begründe, dass die Funktion f nicht umkehrbar, die Funktion h jedoch umkehrbar ist

Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von h an

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Begründe, dass mit dem Term 2⋅((5−ln⁡5)⋅ln⁡5−∫ln⁡55f(x)dx) der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann

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Berechne mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau

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Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von $G$

Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft

Begründe, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist

Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an

Begründe, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann