$${\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \mathrm{4,5}=\mathrm{13,5}}$$

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\mathrm{13,5}{\text{ cm}}^2$.

Umfang des Dreiecks: $U=$ $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}\overline{}$

$\overline{AC}=\overline{BC}$

Länge der Strecke $\overline{AB}$: $|AB|=6\text{ cm}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$:

Verwende für die Berechnung den Satz des Pythagoras.

$|AC|=\sqrt{3^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,408...}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$: $|AC|=\mathrm{5,408...}\text{ cm}$

$U=|AB|+2\cdot |AC|$

$U=6+2\cdot \mathrm{5,408...}=\mathrm{16,816...}\approx \mathrm{16,8}$

Das Dreieck hat einen Umfang von rund $\mathrm{16,8}\text{ cm}$.

Das Dreieck mit den Punkten $A$, dem Ursprung $(0|0)$ und $C$ ist rechtwinklig.

Es gilt:

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$$

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{3}=\mathrm{1,5}}$$

$\alpha \approx \mathrm{56,3}°$

In der Zeichnung kannst du erkennen, dass die Parabel bei $x=3$ und $x=-3$ eine Nullstelle hat.

Überprüfe die Funktionsgleichung für x = 3 und x = −3.

$f(3)=a\cdot (3+3)\cdot (3-3)=a\cdot 6\cdot 0=0$

$f(-3)=a\cdot (-3+3)\cdot (-3-3)=a\cdot 0\cdot (-6)=0$

Die dargestellte Parabel ist nach unten geöffnet, daher ist $a<0$.

Lies die Koordinaten des Punktes $C$ aus der Zeichnung ab: $C(0|\mathrm{4,5})$

$\Rightarrow$ $f(0)=\mathrm{4,5}$

Für die Funktionsgleichung ergibt sich:

$\mathrm{4,5}=a\cdot (0+3)\cdot (0-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot 3\cdot (-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot (-9)$

$$a={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{-9}=-\frac{1}{2}}$$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{2}}$$

(1) Eine Möglichkeit besteht darin, die Punkte A und B entlang der x-Achse nach außen zu verschieben, sodass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht mit den Basiswinkeln von jeweils 45°. Dadurch wird der Winkel bei C genau 90° groß.

Da in diesem Fall die Höhe des Dreiecks jeweils dem Abstand der Punkte A und B von der y-Achse entsprechen, ergeben sich die Koordinaten A (–4,5 | 0) und

B (4,5 | 0) als Nullstellen der Parabel.

(2) Über den Ansatz

$g(x)=a\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})$ siehe Teilaufgabe d)

$g(0)=\mathrm{4,5}$ Scheitelpunkt der Parabel

=> $\mathrm{4,5}=a\cdot \mathrm{4,5}\cdot (-\mathrm{4,5})$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}}$$

=> $$g(x)={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})}$$