Teil B: Analysis 1

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}$.

Für den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse berechne $f(0)$.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (0-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}\cdot 0+6}=-{\displaystyle \frac{6}{100}}\cdot e^6\Rightarrow S_y(0|-{\displaystyle \frac{6}{100}}\cdot e^6)$

Untersuche das Verhalten von $𝑓$ für $x\to -\infty$ und $x\to +\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=-\infty }}$$

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=0}}$$, die $e$-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen unendlich.

Gib die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ an

$f^{\prime \prime }(x)=0\iff x={\displaystyle \frac{302}{17}}$ und $f^{\prime \prime \prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)\ne 0$ ergeben eine Wendestelle bei $x={\displaystyle \frac{302}{17}}$.

Der Graph von $f$ hat im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ einen Wendepunkt und $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)<0$, d.h. die Steigung im Wendepunkt ist negativ.

Bestimme eine Gleichung dieser Geraden

Bekannt: Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}\Rightarrow$ für $x=6$ ist $f(6)=0$.

Die Integrationsgrenzen für die Flächenberechnung sind also $x=0$ und $x=6$.

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x}}$$.

Für $0\le a\le 6$ ist die Lösung der Gleichung $a\approx \mathrm{1,39}$.

Die Gleichung dieser Geraden lautet $x=\mathrm{1,39}$.

(1) Berechne die Wartezeit für einen Anruf um 9: 00 Uhr

Gegeben ist $w(x)=(x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}.$

Lasse Dir den Wert $w(9)$ mit dem GTR-Rechner anzeigen:

$w(9)\approx \mathrm{262,070169}$

Die Wartezeit für einen Anruf um $9:00$ Uhr beträgt rund $262$ Sekunden.

(2) Bestimme rechnerisch die Uhrzeit dieses Anrufs

Löse die Gleichung $w(x)=200$, indem Du die Schnittpunkte zwischen $G_w$ und $y=200$ bestimmst.

Du erhältst mit dem GRT-Rechner die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{7,898495139}$ und $x_2\approx \mathrm{19,38885424}$.

Da die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von $8:00$ Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr beschrieben wird, entfällt die Lösung $x_1$.

Zu der Lösung $x_2\approx \mathrm{19,39}$ gehört die Uhrzeit $19:23$.

Der Anruf erfolgte also um $19:23$ Uhr.

Ermittle rechnerisch für den Zeitraum von 8: 00 Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist

Löse die Gleichung $w^{\prime }(x)=0$:

$\Rightarrow 0=(-\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,02})\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,17}x+6}\Rightarrow 0=-\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,02}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\mathrm{2,02}}{\mathrm{0,17}}}\approx \mathrm{11,88}$

Es handelt sich hier um ein abgeschlossenes Intervall.

Betrachte die folgenden Werte:

$w(8)\approx \mathrm{207,09}$

$w\left(\frac{202}{17}\right)\approx 315\Rightarrow HP$

$w(22)\approx \mathrm{153,33}\Rightarrow TP$ (Randextremum)

Wegen $w\left(\frac{202}{17}\right)\approx 315$ geht der Anruf mit der längsten Wartezeit etwa $\mathrm{11,88}$ Stunden nach $0:00$ Uhr, also um $11:53$ Uhr ein.

(Die längste Wartezeit beträgt rund 315 Sekunden.)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist

$w(22)\approx 153,33$

Die kürzeste Wartezeit ist um $22:00$ Uhr.

Bestimme durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$, sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit $250$ Sekunden beträgt

Beschreibe Dein Vorgehen

$G_w$ schneidet $y=250$ bei etwa $17$. Die gesuchten Werte für $a$ und $b$ müssen also links und rechts von $17$ liegen.

Wählt man z.B. $a\approx 14$, dann liegt der Wert von $b$ bei etwa $\mathrm{19,5}$.

Also sind mögliche Werte $a\approx 14$ und $b\approx \mathrm{19,5}$.

Vorgehen

• Zeichne einen Ausschnitt der Geraden $𝑔:𝑦=250$.

• Markiere auf der $x$-Achse die Stellen $𝑎$ und $𝑏$, sodass die Fläche zwischen dem Graphen von $𝑤$, der Gerade $𝑔$ sowie den Geraden mit den Gleichungen $𝑥=𝑎$ und $𝑥=𝑏$ aus zwei Flächenstücken gleichen Inhalts besteht.

Hinweis: Die Angabe des Flächeninhalts ist nicht gefordert.