Teil B: Analysis 1

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}$.

Für den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse berechne $f(0)$.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (0-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}\cdot 0+6}=-{\displaystyle \frac{6}{100}}\cdot e^6\Rightarrow S_y(0|-{\displaystyle \frac{6}{100}}\cdot e^6)$

Untersuche das Verhalten von $𝑓$ für $x\to -\infty$ und $x\to +\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=-\infty }}$$

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=0}}$$, die $e$-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen unendlich.

Gib die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ an

$f^{\prime \prime }(x)=0\iff x={\displaystyle \frac{302}{17}}$ und $f^{\prime \prime \prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)\ne 0$ ergeben eine Wendestelle bei $x={\displaystyle \frac{302}{17}}$.

Der Graph von $f$ hat im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ einen Wendepunkt und $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)<0$, d.h. die Steigung im Wendepunkt ist negativ.

Bestimme eine Gleichung dieser Geraden

Bekannt: Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}\Rightarrow$ für $x=6$ ist $f(6)=0$.

Die Integrationsgrenzen für die Flächenberechnung sind also $x=0$ und $x=6$.

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x}}$$.

Für $0\le a\le 6$ ist die Lösung der Gleichung $a\approx \mathrm{1,39}$.

Die Gleichung dieser Geraden lautet $x=\mathrm{1,39}$.

(1) Berechne die Wartezeit für einen Anruf um 9: 00 Uhr

Gegeben ist $w(x)=(x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}.$

Lasse Dir den Wert $w(9)$ mit dem GTR-Rechner anzeigen:

$w(9)\approx \mathrm{262,070169}$

Die Wartezeit für einen Anruf um $9:00$ Uhr beträgt rund $262$ Sekunden.

(2) Bestimme rechnerisch die Uhrzeit dieses Anrufs

Löse die Gleichung $w(x)=200$, indem Du die Schnittpunkte zwischen $G_w$ und $y=200$ bestimmst.

Du erhältst mit dem GRT-Rechner die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{7,898495139}$ und $x_2\approx \mathrm{19,38885424}$.

Da die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von $8:00$ Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr beschrieben wird, entfällt die Lösung $x_1$.

Zu der Lösung $x_2\approx \mathrm{19,39}$ gehört die Uhrzeit $19:23$.

Der Anruf erfolgte also um $19:23$ Uhr.

Ermittle rechnerisch für den Zeitraum von 8: 00 Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist

Die gesuchten Zeitpunkte entsprechen den globalen Extremstellen der Funktion w. Diese sind Nullstellen der Ableitungsfunktion w' oder Randstellen des betrachteten Intervalls. Es ist $w^{\prime }(x)=(-\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,02})\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,17}x+6}$.

Löse die Gleichung $w^{\prime }(x)=0$:

$\Rightarrow 0=(-\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,02})\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,17}x+6}\Rightarrow 0=-\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,02}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\mathrm{2,02}}{\mathrm{0,17}}}\approx \mathrm{11,88}$

Wegen $w\left(\frac{202}{17}\right)\approx 315$ geht der Anruf mit der längsten Wartezeit etwa $\mathrm{11,88}$ Stunden nach $0:00$ Uhr, also um $11:53$ Uhr ein.

(Die längste Wartezeit beträgt rund 315 Sekunden.)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist

Betrachte die Grenzen $8:00$ Uhr und $22:00$ Uhr.

$w(8)\approx \mathrm{207,09}$ und $w(22)\approx 153,33$

Die kürzeste Wartezeit ist um $22:00$ Uhr.

Bestimme durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$, sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit $250$ Sekunden beträgt

Beschreibe Dein Vorgehen

$G_w$ schneidet $y=250$ bei etwa $17$. Die gesuchten Werte für $a$ und $b$ müssen also links und rechts von $17$ liegen.

Wählt man z.B. $a\approx 14$, dann liegt der Wert von $b$ bei etwa $\mathrm{19,5}$.

Also sind mögliche Werte $a\approx 14$ und $b\approx \mathrm{19,5}$.

Vorgehen

• Zeichne einen Ausschnitt der Geraden $𝑔:𝑦=250$.

• Markiere auf der $x$-Achse die Stellen $𝑎$ und $𝑏$, sodass die Fläche zwischen dem Graphen von $𝑤$, der Gerade $𝑔$ sowie den Geraden mit den Gleichungen $𝑥=𝑎$ und $𝑥=𝑏$ aus zwei Flächenstücken gleichen Inhalts besteht.

Hinweis: Die Angabe des Flächeninhalts ist nicht gefordert.