Teil 1 Stochastik: ohne Hilfsmittel

Beschreibe in Worten die im Baumdiagramm angegebene Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ im vorliegenden Sachzusammenhang

Es handelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_R(N)$. Eine Person, die Rosinen gewählt hat, wählt auch Nüsse.

Erläutere, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein Kunde für Nüsse oder Rosinen entscheidet

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(R\cup N)$:

Aus dem Baumdiagramm folgt: $P(\overline{R}\cap \overline{N})=\mathrm{0,4}$

Dann gilt: $P(R\cup N)=P(R\cap N)+P(R\cap \overline{N})+P(\overline{R}\cap N)=1-P(\overline{R}\cap \overline{N})=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

Ein Kunde entscheidet sich für Nüsse oder Rosinen mit der Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,6}$.

Untersuche mit Hilfe geeigneter Berechnungen, ob die Ereignisse $R$ und $N$ stochastisch unabhängig sind

Es muss gelten $P(R\cap N)=P(R)\cdot P(N)$.

Aus dem Baumdiagramm kann man entnehmen, dass $P(R)\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$ ist. Demnach ist $P(R)={\displaystyle \frac{4}{10}}$.

Weiterhin ist $P(R\cap N)=\mathrm{0,1}$.

Für $P(N)$ erhält man: $P(N)=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}$.

Dann gilt: $P(R)\cdot P(N)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}$

Der Vergleich von $P(R\cap N)=\mathrm{0,1}$ mit $P(R)\cdot P(N)=\mathrm{0,12}$ zeigt, dass die Ereignisse $R$ und $N$ stochastisch abhängig sind ($\mathrm{0,1}\ne \mathrm{0,12}$).

Ermittle jeweils nachvollziehbar die Wahrscheinlichkeit, mit dem vorliegenden Würfel eine $3$ zu würfeln

Es gilt: $P(X=3)=P(X\le 3)-(P(X=1)+P(X=2))=\mathrm{0,5}-(\mathrm{0,1}+\mathrm{0,3})=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,1}$

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem vorliegenden Würfel eine $3$ zu würfeln, beträgt $\mathrm{0,1}$.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, mit dem vorliegenden Würfel eine $5$ zu würfeln

Gegeben ist $P(X\le 3)=\mathrm{0,5}$, dann ist $P(X\ge 4)=\mathrm{0,5}$.

$\Rightarrow P(X=5)=P(X\ge 4)-(P(X=4)+P(X=6))=\mathrm{0,5}-(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1})=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,2}$

Alternativ:

$P(X=5)=1-(P(X=1)+(P(X=2)+P(X=3)+(P(X=4)+P(X=6))=$

$1-(\mathrm{0,1}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1})=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem vorliegenden Würfel eine $5$ zu würfeln, beträgt $\mathrm{0,2}$.

Vervollständige damit das Diagramm

Trage die Werte $P(X=3)=\mathrm{0,1}$ und $P(X=5)=\mathrm{0,2}$ in das Diagramm ein.

Bestimme, welcher Einsatz pro Spiel verlangt werden muss, damit das Spiel fair ist

Berechne den Erwartungswert:

$E(X)=\mathrm{0,1}\cdot 1+\mathrm{0,3}\cdot 2+\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,2}\cdot 4+\mathrm{0,2}\cdot 5+\mathrm{0,1}\cdot 6=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,6}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,8}+1+\mathrm{0,6}=\mathrm{3,4}$

Pro Spiel muss ein Einsatz von $\mathrm{3,40}€$ verlangt werden, damit das Spiel fair ist.