Teil B: Analytische Geometrie

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Aufgabe II 2
Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.
Die Punkte $A (5 | 0 | 0), B (4 | 3 | 0), C (0 | 5 | 0), D (5 | 0 | 3), E (4 | 3 | 3), F (0 | 5 | 3)$ und $S (0 | 0 | 5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_{1} x_{3}$ -Ebene und die $x_{2} x_{3}$ -Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Abbildung 3 zeigt einen Teil der Grundfläche des Prismas in der
  $x_{1} x_{2}$ -Ebene. Vervollständigen Sie
  die Grundfläche in Abbildung 3.
  [2 BE]
  Abbildung 3
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren
  Vervollständige die Grundfläche in Abbildung 3
  Abbildung 3 ergänzt
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  Ergänze die Zeichnung so, dass ein Achteck entsteht.
2. An allen acht gleich langen Dachkanten, die in der Spitze des Partyzeltes zusammenlaufen, soll jeweils eine Girlande angebracht werden. Dabei muss jede Girlande $60 cm$ länger als die zugehörige Dachkante sein. Bestimmen Sie die Gesamtlänge aller Girlanden. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Bestimme die Gesamtlänge aller Girlanden
  Berechne die Länge einer Dachkante:
  $| \vec{D S} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{(- 5)^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}$
  Es gibt $8$ Dachkanten mit der Länge $\sqrt{29} m$ und $8$ mal den Dachkantenüberstand von $0, 6 m$ , also insgesamt eine Länge von $8 \cdot (\sqrt{29} + 0,6) \approx 47,88 m$ .
  Die Gesamtlänge aller Girlanden beträgt rund $47,88 m$ .
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  Berechne die Länge einer Dachkante.
  Es gibt $8$ Dachkanten und $8$ mal den Dachkantenüberstand von $0, 6 m$ .
3. Bestimmen Sie rechnerisch einen Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck $E F S$ liegt. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln
  Bestimme rechnerisch einen Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck $E F S$ liegt
  Es muss gelten:
  $\vec{n} \circ \vec{S E} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{S F} = 0$
  Berechne $\vec{S E} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$ und $\vec{S F} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 2 \end{array})$ .
  Dann gilt:
  $\vec{n} \circ \vec{S E} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = 0$ $\Rightarrow (I) 4 n_{1} + 3 n_{2} - 2 n_{3} = 0$
  $\vec{n} \circ \vec{S E} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 2 \end{array}) = 0$ $\Rightarrow (I I) 5 n_{2} - 2 n_{3} = 0$
  Wählst Du z. B. $n_{2} = 2$ dann folgt in Gleichung $(I I) : 5 \cdot 2 = 2 n_{3} \Rightarrow n_{3} = 5$
  Setze $n_{2} = 2$ und $n_{3} = 5$ in Gleichung $(I)$ ein, dann folgt: $4 n_{1} + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 5 = 0 \Rightarrow 4 n_{1} + 6 - 10 = 0 \Rightarrow 4 n_{1} = 4 \Rightarrow n_{1} = 1$
  Der gesuchte Normalenvektor ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ .
  Anmerkung: Gegebenenfalls kann der Normalenvektor auch mit dem Kreuzprodukt berechnet werden.
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  Es muss gelten: $\vec{n} \circ \vec{S E} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{S F} = 0$
  Bestimme mit diesen beiden Gleichungen den Vektor $\vec{n}$ .
4. Das Dreieck $E F S$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} = 25$ .
  Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $E F S$ beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
  Berechne die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $E F S$ beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen
  Für den Winkel gilt:
  $\cos φ = \frac{| \vec{n} \circ \vec{m} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |}$
  Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $E_{E F S}$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
  $| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{30}$ und $| \vec{m} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1} = 1$
  $\Rightarrow \cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |} = \frac{| 0 + 0 + 5 |}{\sqrt{30} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{30}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{5}{\sqrt{30}}) \approx {24,1}^{°}$
  Die Größe $φ$ des Winkels, den $E_{E F S}$ mit der $x_{1} x_{2}$ $-$ Ebene einschließt, beträgt rund ${24,1}^{°}$ .
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  Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{n} \circ \vec{m} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |}$
  Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $E_{E F S}$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
5. Im Inneren des Partyzelts befindet sich eine gerade Schiene, deren Enden im Modell der Punkt $S$ und der Mittelpunkt $M (2 | 4 | 3)$ der Strecke $E F$ sind. Ein Strahler bewegt sich entlang der gesamten Schiene und sendet dabei einen Laserstrahl in der
  Richtung, die durch den Vektor $(\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$ dargestellt werden kann, in den Innenraum des Partyzelts aus.
  Auf einer Zeltwand befindet sich an einer Stelle ein kleines Loch. Diese Stelle wird durch den Punkt $L (- 2 | - 4 | 0,5)$ beschrieben. Um zu untersuchen, ob durch dieses Loch der Laserstrahl nach außen dringen kann, wird der Lösungsansatz $\vec{O P_{t}} + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0,5 \end{array})$ betrachtet, wobei $\vec{O P_{t}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$ mit $t \in [0; 1]$ gilt.
  Erläutern Sie die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  Erläutere die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deute diese im Sachzusammenhang
  Die Schiene startet im Punkt $S (0 | 0 | 5)$ und verläuft bis zum Mittelpunkt $M (2 | 4 | 3)$ der Strecke $E F$ $\Rightarrow \vec{S M} = (\begin{array}{c} 2 - 0 \\ 4 - 0 \\ 3 - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$ .
  $\Rightarrow g_{S c h i e n e} : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot \vec{S M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) = \vec{O P_{t}}$ mit $t \in [0; 1]$ .
  Die Position des Strahlers entlang der Schiene wird durch die Punkte $P_{t}$ mit der Gleichung $\vec{O P_{t}}$ (entspricht $g_{S c h i e n e}$ ) beschrieben.
  Befindet sich der Strahler an einer durch $P_{t}$ gegebenen Position, dann wird der Laserstrahl durch die Gleichung $g_{L a s e r} : \vec{x} = \vec{O P_{t}} + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ beschrieben. Dabei ist der gegebene Vektor $(\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{array})$ der Richtungsvektor von $g_{L a s e r}$ .
  Liegt $L (- 2 | - 4 | 0,5)$ auf der Geraden $g_{L a s e r}$ , dann kann der Laserstrahl durch das Loch nach außen gelangen.
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  Wie entsteht die Gleichung für $\vec{O P_{t}}$ ?
  Durch welche Gleichung wird der Laserstrahl dargestellt?
  Wo muss der Punkt $L$ liegen, damit der Laserstrahl nach außen gelangen kann?

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Teil B: Analytische Geometrie

Aufgabe II 2

Vervollständige die Grundfläche in Abbildung 3

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Bestimme die Gesamtlänge aller Girlanden

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Bestimme rechnerisch einen Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck EFS liegt

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Berechne die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck EFS beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen

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Erläutere die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deute diese im Sachzusammenhang

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Bestimme rechnerisch einen Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck $E F S$ liegt

Berechne die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $E F S$ beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen