Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Herr Klausen legt $8000,00 €$ für drei Jahre an. Die Zinsen werden mitverzinst, der Zinssatz
steigt mit jedem Jahr an. Im ersten Jahr wird seine Anlage mit $0,8 %$ verzinst. Im zweiten
Jahr werden ihm $100,80 €$ Zinsen gutgeschrieben. Nach Ablauf der drei Jahre hat er ein Guthaben von $8368,92 €$ angespart.
- Berechne die Zinssätze für das zweite und dritte Jahr.
- Stelle die Zinsen in einem aussagekräftigen Diagramm dar.
Frau Bleich legt $8000,00 €$ bei der H -Bank an.
- Welchen Betrag bekommt Frau Bleich nach Ablauf von $10$ Jahren ausbezahlt?
Frau Bleich möchte mit ihrer Geldanlage in diesen $10$ Jahren mindestens eine Wertsteigerung von $14,5 %$ erzielen.
- Gelingt ihr dies? Begründe.
(5 Pkt.)

Zinssätze berechnen
Kapital nach einem Jahr bei einem Zinssatz von $0,8 %$
$K_{1} = 8 000 \cdot 1,008 = 8 064$
Kapital nach zwei Jahren bei Gutschrift von $100,80$ € Zinsen.
$K_{2} = 8 064 + 100,80 = 8 164,80$
Zinssatz im zweiten Jahr
$K_{2} = K_{1} \cdot q_{2}$
$8 164,80 = 8 064 \cdot q_{2} | : 8 064$
$1,0125 = q_{2}$
Der Zinssatz im zweiten Jahr beträgt $1,25 %$ .
Kapital nach drei Jahren
$K_{3} = 8 368,92$
Zinssatz im dritten Jahr
$K_{3} = K_{2} \cdot q_{3}$
$8 368,92 = 8 164,80 \cdot q_{3} | : 8 164,80$
$1,025 = q_{3}$
Der Zinssatz im dritten Jahr beträgt $2,5 %$
Grafik jährlich Zinsen
Geldanlage
Zur Berechnung des Kapitals nach 10 Jahren wird die Zinseszinsformel angewendet.
$K_{10} = 8 000 \cdot {1,014}^{10}$
$K_{10} \approx 9 193,26$
Frau Bleich bekommt nach 10 Jahren $9 193,26$ € ausgezahlt.
Wertsteigerung
Zur Berechnung der Wertsteigerung werden die Zinserträge durch das Anfangskapital dividiert.
$\frac{9 193,26 - 8000}{8 000} = \frac{1 193,26}{8 000} \approx 0,149 \hat{=} 14,9 %$
Die Wertsteigerung beträgt $14,9 %$ . Frau Bleich hat ihr Ziel erreicht.
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Das Viereck hat einen Flächeninhalt von $A = 162,8 c m^{2}$ .
- Berechne $x$ .
- Berechne den Winkel $α$ .
Ein Parallelogramm hat einen Umfang von $25,16 c m$ . Die beiden kurzen Seiten sind um $30 %$ kürzer als die langen.
- Berechne die Längen $a$ und $b$ .
(5 Pkt.)

Der Flächeninhalt des halben Vierecks beträgt:
$\frac{162,8}{2} = 81,4 {cm}^{2}$
Die Grundseite des halben Vierecks hat eine Länge von $(x + 4,5) cm$ und eine Höhe von $7,4 cm$ .
Berechnung von x
$\frac{(x + 4,5) \cdot 7,4}{2}$ $=$ $81,4$ $\cdot 2$
$(x + 4,5) \cdot 7,4$ $=$ $162,8$ $: 7,4$
$x + 4,5$ $=$ $22$ $- 4,5$
$x$ $=$ $17,5$
Die Länge von $x$ beträgt $17,5 cm$ .
Winkel $α$ berechnen
Die Winkel $α_{1}$ und $α_{2}$ können mit dem Tangens berechnet werden.
$\tan α_{1} = \frac{17,5}{7,4} \approx {67,1}^{\circ}$
$\tan α_{2} = \frac{4,5}{7,4} \approx {31,3}^{\circ}$
$α = α_{1} + α_{2} = {67,1}^{\circ} + {31,3}^{\circ} = {98,4}^{\circ}$
Längen berechnen
Der Umfang eines Parallelogramms beträgt
$U$ $=$ $2 \cdot a + 2 \cdot b$
↓
Werte einsetzen
$25,16$ $=$ $2 \cdot a + 2 \cdot b$
↓
$b$ ist um $30 %$ kürzer als $a$ , d.h $b = 0,7 \cdot a$
$25,16$ $=$ $2 \cdot a + 2 \cdot (0,7 \cdot a)$
$25,16$ $=$ $3,4 \cdot a$ $: 3,4$
$7,4$ $=$ $a$
$b = 0,7 \cdot a = 0,7 \cdot 7,4 = 5,18$
Die Seitenlängen des Parallelogramms betragen $a = 7,4 cm$ und $b = 5,18 cm$ .
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$\frac{(x + 4,5) \cdot 7,4}{2}$	$=$	$81,4$	$\cdot 2$
$(x + 4,5) \cdot 7,4$	$=$	$162,8$	$: 7,4$
$x + 4,5$	$=$	$22$	$- 4,5$
$x$	$=$	$17,5$

$U$	$=$	$2 \cdot a + 2 \cdot b$
	↓	Werte einsetzen
$25,16$	$=$	$2 \cdot a + 2 \cdot b$
	↓	$b$ ist um $30 %$ kürzer als $a$ , d.h $b = 0,7 \cdot a$
$25,16$	$=$	$2 \cdot a + 2 \cdot (0,7 \cdot a)$
$25,16$	$=$	$3,4 \cdot a$	$: 3,4$
$7,4$	$=$	$a$

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