Punktsymmetrie

Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt oder Symmetriezentrum, auf sich selbst abgebildet wird.

Es handelt sich um eine Drehung der Figur um 180°.

Punktsymmetrische Figuren

Die jeweils rot gekennzeichneten Punkte sind die Symmetriepunkte der Figuren.

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten parallel zueinander liegen.

Kreis

Ein Kreis ist eine geschlossene Linie um einen Mittelpunkt MM. Alle Punkte auf der Linie haben den gleichen Abstand/Radius zum Mittelpunkt.

Punktsymmetrie bei Funktionen

Der Graphen einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt P=(x0,y0)P=(x_0,y_0), wenn f(x0x)y0=f(x0+x)+y0f(x_0-x)-y_0=-f(x_0+x)+y_0.

Beispiel

Die Funktion f(x)=(x2)31f\left(x\right)=\left(x-2\right)^3-1 ist punktsymmetrisch zum Punkt P(21)P(2|-1) ist. Da

f(2x)(1)=(2x2)31+1=x3f(2-x)-(-1)=(2-x-2)^3-1+1=-x^3

und

f(2+x)+(1)=((2+x2)31)+(1)=(x31)1=x3+11=x3-f(2+x)+(-1)=-((2+x-2)^3-1)+(-1)=-(x^3-1)-1=-x^3+1-1=-x^3

Ein Spezialfall ist die Punktsymmetrie am Ursprung, also für P=(0,0)P=(0{,}0). Die Gleichung vereinfacht sich, dann zu:

f(0x)0=f(0+x)+0 f(x)=f(x)f(0-x)-0=-f(0+x)+0 \Rightarrow \ f(-x)=-f(x).

Punktspiegelung

Um eine beliebige Figur FF an einem Punkt PP zu spiegeln, werden nacheinander alle charakteristischen Punkte an PP gespiegelt und schließlich entsprechend der Gestalt von FF verbunden.

Übungsaufgaben

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