Aufgaben zur Prozentrechnung - lernen mit Serlo!

Im Jahr 2007 wurde die Umsatzsteuer von 16% auf 19% erhöht.

Um wie viele Prozentpunkte ist die Steuer gestiegen?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentpunkte
Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%
Gesucht: Änderung in Prozentpunkten
Prozentpunkte sind die Differenz aus zwei Prozentangaben. Berechne die Differenz aus den zwei Prozentangaben.
$19\%-16\% = 3\%$
Die Steuer ist um 3 Prozentpunkte gestiegen.
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Um wie viel Prozent ist die Steuer gestiegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentsatz

Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Es handelt sich um eine Erhöhung. 19% ist also ein vermehrter Grundwert.

$G^+ = 19\%$ $G=16\%$

Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.

$\displaystyle G^+$	$=$	$\displaystyle G\cdot\left(1+p\right)$
	↓	Setze den vermehrten Grundwert $G^+$ und den Grundwert $G$ ein und berechne.
$\displaystyle 19\%$	$=$	$\displaystyle 16\%\cdot\left(1+p\right)$	$\displaystyle :16\%$
$\displaystyle \frac{19\%}{16\%}$	$=$	$\displaystyle 1+p$
$\displaystyle \frac{19}{16}$	$=$	$\displaystyle 1+p$
$\displaystyle 1{,}1875$	$=$	$\displaystyle 1+p$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 0{,}1875$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Alternative zweischrittige Berechnung des Wachstumsfaktors

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall $G=16\%$ . Der Prozentwert ist der Wert nach der Erhöhung. In diesem Fall $W=19\%$ .

Stelle die Formel für den Prozentsatz auf.

$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{W}{G}$
	↓	Setze den Grundwert und Prozentwert ein und berechne.
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{19\%}{16\%}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle \frac{19}{16}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1{,}1875$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 118{,}75\%$
	↓	19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

$p_z = 118{,}75\% - 100\% = 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

Alternative Lösung mit Dreisatz

Gegeben: Steuersatz vor 2007: 16% Steuersatz nach 2007: 19%

Gesucht: Wachstumsfaktor

Stelle zunächst fest, was der Grundwert und was der Prozentwert ist.

Der Ausgangswert und damit Grundwert ist der ältere Wert. In diesem Fall $G=16\%$ . Der Grundwert entspricht 100%.

Berechne den Prozentsatz.

19% sind also 118,75% von 16%. Berechne nun den Wachstumsfaktor.

$p_z = 118{,}75\% - 100\% = 18{,}75\%$

Lösung: Die Steuer ist um 18,75% gestiegen.

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